1. 6. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х сравнивают между собой экспериментальные и теоретические частоты по критерию Пирсона:

Статистика имеет распределение с V = k – r – 1 степенями свободы, где k – число интервалов эмпирического распределения, r – число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным. Для нормального распределения число степеней свободы равно:

V = k – 3

В теории математической статистики доказывается, что проверку гипотезы о модели закона распределения по критерию Пирсона можно делать только в том случае, если выполняются следующие неравенства:

n ≥ 50 ≥ 5 где i = 1,2,3…

Из результатов вычислений, приведенных в таблице 1.3 следует, что необходимое условие для применения критерия согласия Пирсона не выполнены, т.к. в некоторых группах < 5. Поэтому те группы вариационного ряда, для которых необходимое условие не выполняется, объединяют с соседними и, соответственно, уменьшают число групп, при этом частоты объединенных групп суммируются. Так объединяют все группы с частотами < 5 до тех пор, пока для каждой новой группы будет выполняться условие ≥ 5.

При уменьшении числа групп для теоретических частот соответственно уменьшают и число групп для эмпирических частот. После объединения групп в формуле для числа степеней свободы V = k – 3 в качестве k принимают новое число групп, полученное после объединения частот.

Результаты объединения интервалов и теоретических частот для таблицы 1.3 приведены соответственно в таблице 1.4.

Таблица 1.4

Результаты объединения интервалов и теоретических частот

[-1,82; -0,62)	0,0681	4,084	4	0,07056	0,01727
[-0,62; -0,02)	0,1285	7,714	5	7,3657	0,95486
[-0,02: 0,58)	0,2151	12,906	14	1,1968	0,09273
[0,58; 1,18)	0,2452	14,713	18	10,8043	0,73434
[1,18; 1,78)	0,1927	11,565	11	0,31922	0,0276
[1,78; 2,98)	0,1405	8,431	8	0,1857	0,02203
Σ	0,9901	59,413	0		2,09723

Результаты вычислений из таблицы 1.4 можно использовать для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

Процедура проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х выполняется в следующей последовательности:

1. задаются уровнем значимости а = 0,05 или одним из следующих значений:а₁ = 0,01, а₂ = 0,1, а₃ = 0,005

2. вычисляют наблюдаемые значения критерия, используя экспериментальные и теоретические частоты из Таблицы 1.4.

3. для выборочного уровня значимости а = 0,05 по таблице распределения находят критические значения при числе степеней свободы V = k – 3, где k – число групп эмпирического распределения.

4. сравнивают фактически наблюдаемое с критическим , найденным по таблице, и принимаем решение:

• если > , то выдвинутая гипотезы о теоретическом законе распределения отвергается при заданном уровне значимости.

• если < , то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т.е. нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении, т.к. эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно (случайно).

При выбранном уровне значимости, а = 0,05 и числе групп k = 6, число степеней свободы V = 3.

По таблице для а = 0,05 и V = 3 находим = 7,81473.

В результате получаем:

Для =2,09723, которое нашли по результатам вычислений, приведенных в таблице 1.4, имеем:

= 2,09723< = 7,81473

Следовательно, нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х.