Лекция № 3

Аналогично линии тока введем понятие вихревой линии

= 0

=>

Если вихревые линии проходят через замкнутый контур (рис.3.1), то они образуют вихревую трубку, внутри которой жидкость вращается как твердое тело.

F2

Fб

F1

Рис.3.1

Вихревые линии своими концами замыкаются либо на самих себя (вихревое кольцо) либо на поверхность, либо на бесконечность (Лойцянский, рис.9).

Вторая теорема Гельмгольца: суммарное напряжение вихревой трубки вдоль нее постоянно, или :

поток вектора вихря скорости через произвольно проведенное сечение вихревой трубки в данный момент времени есть величина постоянная.

(Под потоком понимают скалярное произведение вектора сквозь поверхность F (рис.3.3) ,

где -направляющие косинусы нормали к поверхности F.

Для струйки тока потоком через струйку тока является расход жидкости Для вихревой трубки напряжение или поток вихря )

рис.3.3

F

По теореме Остроградского-Гаусса о связи поверхностного интеграла с объемным

Но => и т.д.

Отсюда поток вектора (или напряжение вихревой трубки) (рис.3.1)

(1)

Положим, что площадки F1 и F2 достаточно малы, чтобы полагать на них .

Тогда с учетом будем иметь . Это будет математической формулировкой второй теоремы Гельмгольца.

Потенциальные и вихревые движения

Рассмотрим два возможных частных случая:

1. когда течение является безвихревым ( )

2. когда течение является чисто вихревым

В первом случае течение называют потенциальным. Элементы жидкости подвергаются при этом только деформациям растяжения-сжатия. (движение жидкости через шприц, течение воздуха вблизи крыла самолета за пределами пограничного слоя относятся с большой точностью к потенциальным). Тогда из условия имеем:

Отсюда следует утверждение, проверяемое непосредственно, что существует такая скалярная функция , что проекции скоростей являются ее частными производными по соответствующему направлению, т.е. и тогда

Итак, безвихревое движение обладает потенциалом скорости и .

Распределение линий равного потенциала образует потенциальное поле.

Градиент есть вектор с ортом ,направленный в сторону наискорейшего изменения , орт характеризует направление скорости , т.е. перпендикулярно . Но направление совпадает с направлением линий тока . Таким образом, линии тока и линии равного потенциала образуют взаимно ортогональную сетку.

Для двумерного случая (рис.3.4):

const

const

рис.3.4