Циркуляция скорости

Рассмотрим в некоторой области существование нашей векторной функции , разомкнутый или замкнутый контур AB и составим скалярное произведение , где -направленный элемент контура С. Интеграл называется циркуляцией, причем ГАВ= -ГВА, или

Для потенциальных течений ,

(2)

рис.3.4

Для замкнутого контура при В=А (3)

Таким образом, для потенциальных течений из выражения (2) следует, что циркуляция скорости не зависит от формы контура С и равна разности значений потенциальных функций в начальных и конечных точках, а для замкнутого контура равна нулю.(аналогия- работа в потенциальном поле).Для непотенциальных полей данные утверждения не справедливы.

Кратность циркуляции

Рассмотрим вначале некий замкнутый контур С в области

определения функции векторного поля и разобьем

его на два контура (рис.3.5). Суммарная циркуляция

(направление обхода против часовой стрелки)

,

рис.3.5

Д ля случая произвольного разбиения

Ц иркуляция Г по замкнутому контуру равна сумме циркуляций по контурам, охватывающим область разбиения контура.

Если обходить контур m раз, то суммарная циркуляция , т.е., при

m-кратном обходе контура суммарная циркуляция кратна количеству обходов m.

Односвязные и многосвязные области.

Область называется односвязной, если любой замкнутый контур этой области быть стянутым в точку. В многосвязной области циркуляция по контурам, не стягивающимся в точку, может отличаться от нуля и одинакова для контуров, которые можно перевести друг в друга не выходя за пределы области.

Рассмотрим обтекание аэродинамического профиля потенциальным потоком

1 Выделим области 1 и 2. Область 1-односвязная,

2 2-(1,2,3) многосвязная, включает профиль внутри

области.

1 3

2 рис.3.6

4

6

Циркуляция по контуру 1 равна нулю. Для определения циркуляции по контуру 1,2,3 выделим из области контура область профиля как показано на рис.3.6 , причем линии 3-4 и 6-1 будем полагать бесконечно близкими друг к другу. В таком случае контур 1234561 будет находиться в потенциальном потоке, находящимся вне профиля, циркуляция по которому равна нулю.

Таким образом, циркуляция скорости по профилю равна циркуляции по любому замкнутому профилю, охватывающему этот профиль.

Лекция 4

Теорема Стокса о циркуляции по замкнутому контуру в непотенциальном поле.

Рассмотрим контур С и разобьем его на малые контура С_i (рис 3.?..). Контуры С_i примем настолько малым, что их можно считать жидкой частицей и применять к ней 1-ю Теорему Геймгольца

где - скорость центра массы частицы,

-скорость деформационного движения с потенциалом

- вращение частицы вокруг центра массы

Вычислим циркуляцию скорости по контуру С длинной S :

(*)

здесь

Первый и ????р?йний интегралы в выражении (*) равны нулю, поскольку это скорости безвихревого поля, тогда

Возвращаясь к контуру С, получим теорему Стокса:

инструкция скорости по замкнутому контуру С равна удвоенному потоку вектора вихря сквозь поверхность охватываемую этим контуром.

Теорема Н.Е Жуковского о подъемной силе крыла и решетки в плоском потоке. Постулат Жуковского- Чаплыгина.

Основополагающая теорема, позволяющая объединить возникновение подъемной силы крыла самолета, птицы. Для единичного профиля доказана в 1904г., для решетки в 1912г.

Подъемная сила решетки.

Решеткой называется система из бесконечного числа одинаково ориентированных профилей, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга, называемым шагом решетки.

Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости. Определим силу воздействия потока на решетку (лопатку). Используем уравнение импульсов и расхода. Выделим область, охватывающую профиль решетки. Линии 1-4 и 2-3 направлены параллельно фронту решетки, линии 1-2 и 3-4 – эквидистантно средней линии профиля на расстоянии шага t. Область 1-2-3-4- двусвязная т.к. внутри нее профиль. Поток будем считать плоским , т.е. высоты лопатки на входе и выходе одинаковыми и равными единице.

Уравнение расхода через контрольные поверхности контура ,

но в плоском потоке несжимаемость жидкости ; откуда и тогда [кг/с]

Циркуляция скорости по выделенному контуру:

Изменение количества движения в проекциях на ось и фронт решетки.

Из уравнения Бернулли

-подъемная сила профиля в решетке равна произведению плотности жидкости на среднюю скорость протекания через решетку и циркуляцию скорости вокруг профиля , причем

Подъемная сила единичного профиля.

Для перехода к единичному профилю будем безгранично увеличивать шаг решетки и отодвигать контрольные сечения 1-4 и 2-3 от переднего и заднего фронтов. В отличие от решетки, единичный профиль не сможет повернуть поток на конечный угол, т.е.

и тогда

Для единичного профиля подъемная сила равна произведению плотности на скорость движения профиля и на циркуляцию скорости вокруг профиля и направлена перпендикулярно скорости

Постулат Чаплыгина-Жуковского.

Для единичного профиля и для профиля в решетке циркуляция не входит в основное уравнение и в граничные условия, поэтому она может быть выбрана произвольно. Для фиксирования величины циркуляции в удобообтекаемых профилях (безотрывных) заднюю кромку(кр) делают заостренной, обеспечивающей сход потока со стороны спинки(сп) (разряжения) и корыта(к) (давления) с одинаковой энергией сходящих струек, что возможно при отсюда формулировка постулата:

При безотрывном симметричном обтекании профиля идеальной несжимаемой жидкостью вокруг него образуется такая циркуляция , которая обеспечивает сход потока с задней кромки с равными скоростями.

Разгонный и остановочный вихри крыла.

Согласно второй теореме Геймгольца напряженность вихревой трубки в любой момент времени постоянна, а циркуляция скоростей на замкнутом контуре, образующем вихревую трубку по теореме Стокса равна удвоенной величине ее напряженности. Отсюда следует, что в идеальной жидкости вихрь существует всегда, и он не может возникнуть или исчезнуть, что также относится и к циркуляции скорости (в реальной жидкости это не справедливо ). В таком случае если профиль (крыло самолета, лопатка турбомашины) первоначально был неподвижен, то циркуляция вокруг него была равна нулю и должна остаться такой же и при движении, но тогда бы подъемная сила профиля также равнялась нулю. Однако прямые эксперименты подтверждают наличие циркуляции при установившемся движении, а в момет разгона или остановки с задней кромки профиля (лопатки) сходит вихрь, называемый соответственно разгонным или остановочным генерирующим циркуляцию, равную по модулю и противоположную по знаку циркуляции вокруг профиля. Этот вихрь сносится потоком, но суммарная циркуляция в потенциальном потоке, обтекающем профиль остается равной нулю (рис.). В аэродинамическом профиле в плоско направленном движении направление циркуляции связано с тем, что скорости на верхней и нижней поверхностях не равны друг другу, за исключением точек разделения и схода (рис.). Но теорема Геймгольца и Стокса (которые иногда объединяют теоремой Томсона) позволяют объяснить также возникновение циркуляции и поъемной силы на прямых лопатках центробежной (центростремительной) турбомашины типа «радиальная звезда».

Представим поток через центробежный насос (компрессор) с рабочим колесом (Р.К.) радиального типа

Жидкость поступает из окружающего пространства на рабочее колесо через входной патрубок со сколостью V₀ , проходит рабочее колесо и через выходной патрубок со скоростью V_в покидает турбомашину. Рабочее колесо имеет прямые лопатки (плоские), расположенные вдоль лучей проходящих через ось вращения. Поток втекающий через входной патрубок считаем потенциальным. Посколку лопатки плоские, т.е. длины корыта и спинки одинаковы, то при обтекании их потенциальным потоком при неподвижном раб. колесе циркуляции не возникает. Однако при вращении колеса с угловой скоростью вокруг оси 0 в каждом межлопаточном канале возникает вихревое движение с завихренностью , причем такое, чтобы суммарная напряженность вихревого течения через колесо в абсолютном движении, складывающаяся из напряженного переносного течения с вектором и площадью и напряженности относительного течения с вектором и суммарной площадью межлопаточных каналов, равнялась нулю.

Т.о., потенциальный поток, поступающий в рабочее колесо в сечении 1-1 выходит из колеса в сечении 2-2 также потенциальным. В относительном движении в конце он является вихревым, но в абсолютном также потенциальным. Циркуляция вокруг профиля определяется напряженностью относительного вихря .

Взаимодействие вихревой трубки с потенциальным потоком .

Согласно теореме Геймгольца, напряженность вихревой трубки по длине постоянна; вне боковой поверхности ввиду напряженность этой трубки не распространяется. Но скорость на поверхности этой трубки равна скорости потенциального потока, ибо эта поверхность является общей (рис.) Внутри трубки жидкость вращается как твердое тело , течение вихревое. Вне трубки течение должно быть потенциально, если оно было таковым изначально.