Лекция №5
Это возможно в том случае, если
распределение скоростей будет подчиняться
закону «потенциального вихря» с условием
(полярная
система координат). Рассмотрим сечение
вихревой трубки (рис.5.1). На контуре
сечения С
Для произвольной точки луча, исходящего
из центра контура С под углом
(с переходом из полярных координат в
декартовы) имеем:
рис.5.1
Внутри трубки скорость определяется
как для твердого тела
,
тогда составляющие скоростей
,
завихренность
равна угловой скорости.
Вне контура трубки при
,
соответственно
и тогда, с учетом (U/V)’=(VU’-UV’)/V^2
откуда,
т.е. при V=const/r
поток потенциальный, а его циркуляция
-
величина постоянная, (безвихревое
циркуляционное движение). Таким образом,
в двусвязной области, содержащей вихревой
контур и окружающий ее потенциальный
поток циркуляции скорости по любому
замкнутому контуру, внутри которого
находится вихревой контур, есть величина
постоянная и равная циркуляции скорости
по внешней поверхности вихревого
контура. Иначе, вихревой контур индуцирует
в потенциальном поле скорости с
гиперболическим законом распределения
V=const, причем
значение константы определяется
величиной
,
где Гс-циркуляция по внешней поверхности
вихревого контура. Таким образом
формируется поле скоростей вокруг
одиночного прямолинейного контура
(смерчь, торнадо). Если в потенциальном
поле находятся несколько вихревых
контуров, то поле скоростей вихревой
системы можно получить суммированием
скоростей от каждого вихря. Если одиночный
вихрь с циркуляцией Г обтекается
потенциальным потоком со скоростью
,
то возникает «подъемная» сила
,
которая перемещает вихрь перпендикулярно
(рис.5.2).
рис.5.2
В многосвязной области циркуляция потенциального потока, охватывающего вихревые трубки, равна сумме циркуляций вихревых трубок.
Формула Био-Савара для скорости,
циркулируемой вихревой линией произвольной
формы (без вывода).
Скорость,
индуцируемая элементом вихревой линии
в
точке М равна
и перпендикулярна
плоскости, содержащей элемент длины и
радиус-вектор
,
или по абсолютной величине:
,
где
Г-циркуляция или удвоенная интенсивность
рис.5.3 вихревого контура.
Формула Био-Савара использовалась для определения индуктивного сопротивления крыла конечного размаха.
Если вихревая нить замыкается сама на себя, то она образует вихревое кольцо, из всех скоростей в окружающем кольцо пространстве скорость в центре будет наибольшей. В этом направлении происходит движение вихревого кольца.
Рис. «вихревые кольца»
Динамика жидкой среды.
В основе динамики жидкой среды лежат три уравнения сохранения: неразрывности, импульсов (количества движения), энергии.
Уравнение неразрывности для газа (уравнение сохранения массы).
Выделим произвольный жидкий объем,
масса его
,
тогда закон сохранения массы можно
записать так:
(1)-уравнение неразрывности или
сплошности в интегральной форме
(уравнение расхода).
Масса любого жидкого объема остается
неизменной во времени независимо от
изменения его формы.
Эта интегральная форма записи справедлива в любом случае, в том числе и при наличии поверхностей разрыва (наличие скачков уплотнения, конденсации и т.д.).
Уравнение (1) записано для произвольного объема, величина которого в пространстве может меняться и перемещаться со временем в пространстве.
Для фиксированной системы координат при использовании метода Эйлера вводят подвижную область, называемую контрольным объемом с ограничивающей его контрольной поверхностью.
В таком случае получим уравнение
расхода
,
где q- источниковый член.
При отсутствии источника или стоков
внутри объема q=0.
Если функции
и
,
а также и их производные непрерывны в
выделенном объеме, то можно перейти к
уравнению неразрывности, характеризующей
поведение функции в точке ( при q=0)
т.е. к уравнению неразрывности:
