56. Лаговий оператор.

Аналізуючи часові ряди, зручно використовувати оператор лага (В або L), за допомогою якого можна отримувати значення часового ряду як функції від його інших значень. Буквально лаг означає запізнення і мається на увазі значення змінної у попередній період. Часто використання лагового оператору прихводить до втрати математичної строгості, але воно значно спрощує математичні обчислення. До лагового оператору можна застосовувати усі еретворення, що і до звичайної змінної.

Застосувавши В для знач. y_t, отримаємо y_t-1, тобто Вy_t = y_t-1.

Оператор лага можна застосовувати рекурентно:

В(Вy_t)=Вy_t-1 = y_t-2

Якщо оператор лага діє k>0 разів, то число k записують як показник степеня:

В^ky_t=B(В^k-1y_t)= y_t-k Нарешті: В⁰y_t= y_t

Можна утворювати поліноми від оператора лага:

Відомі наступні властивості лагового оператору:

1. ВС=С (лаг константи дорівнює константі)

2. Дистрибутивність:

3. Асоціативність:

4. Відємний лаг:

57. Міри точності прогнозів

Про точність прогнозу зазвичай судять за розміром помилки прогно­зу - різниці між прогнозним і фактичним значенням досліджуваної змінної. Проте такий підхід до оцінювання точності можливий лише якщо дослідник має фактичні значення змінної. Отри­мані ретроспективно помилки прогнозу якоюсь мірою характеризують точність застосованої методики прогнозування і можуть виявитися ко­рисними під час зіставляння кількох методів. Водночас розмір помил­ки ретроспективного прогнозу не можна розглядати як остаточний до­каз придатності або, навпаки, непридатності застосовуваного методу прогнозування.

Перевірка точності одного прогнозу мало що може сказати. Гарний одиничний прогноз можна отримати і за поганою мо­деллю, і навпаки. Звідси випливає, що про якість прогнозів застосо­вуваних методик і моделей можна судити лише за сукупністю зістав­лень прогнозів і їхньої реалізації.

Найбільш простою мірою якості прогнозів за умови, що є дані про їхню реалізацію, може стати відношення кількості випадків, коли фактичну реалізацію охоплював інтервальний прогноз, до загальної кількості прогнозів, тобто

де т - кількість прогнозів, підтверджених фактичними даними; р - кількість прогнозів, не підтверджених фактичними даними.

Коли всі прогнози підтверджуються, то р = 0 і Г) = 1; якщо ж усі прогнози не підтвердилися, то т, а отже, і г| дорівнюють 0.

Міра якості прогнозу Г. Тейла: коефіцієнт розбіжності, чисельником якого є середньоквадратична похибка прогнозу, а знаменник дорівнює квадратному коре­ню із середнього квадрата реалізації, тобто

де р - кількість періодів, на які розраховують прогноз.

Коефіцієнт V=0, коли всі у_{t prong}= у_t (випадок ідеального прогнозуван­ня); V = 1, коли процес прогнозування призводить до середньоквадратичної помилки "наївної" екстраполяції незмінності приростів; нареш­ті, V > 1, коли прогноз дає гірші результати, ніж припущення про не­змінність досліджуваного явища. Верхньої межі коефіцієнт не має.

Коефіцієнт розбіжності можна використати під час зіставляння якості прогнозів, одержаних на основі різноманітних методів і моде­лей. У цьому його безсумнівна привабливість.

Також виокремлюють більш об'єктивні статистики точності про­гнозів: МSЕ, RМSЕ, МАD, RМSPЕ, МАРЕ. Нехай y_{t_pr} - прогноз значення часового ряду у t-му періоді, тоді:

Середньоквадратична похибка прогнозу за р кроків;

- корінь із середньокв-ї похибки

• середня абсолютна похибка за р кроків

• к орінь із середньокв-ї похибки у відсотках від фактичних значень

• с ередня абсолютна похибка у відсотках

за р кроків.

На практиці ці характеристики використовують досить часто. Пер­ші три критерії виражають похибку в одиницях виміру, тому їхня ве­личина залежить від специфіки часового ряду. Останні два критерії вимірюються у відносних одиницях, тому можна говорити про де­який загальний рівень адекватності моделі на основі їх порівняння.