27. Анализ простейших линейных цепей при гармоническом воздействии. Последовательная rl - цепь. Гармонические колебания – колебания, происходящие по закону синуса или косинуса.

Рассмотрим идеализированную электрическую цепь, состоящую из последовательно включенных сопротивления R и индуктивности L. Пусть напряжение, приложенное к внешним зажи­мам цепи, изменяется по гармоническому закону:

, (1)

где — заданные величины. Используя метод комплексных амплитуд, находим установившееся значение тока i в цепи.

Искомый ток i является гармонической функцией времени той же частоты, что и приложенное напряжение:

, (2)

где - неизвестные действующее значение и начальная фаза тока i.

Представляя сопротивление и индуктивность комплексными схе­мами замещения и переходя от тока i и напряжения u к их комплекс­ным изображениям

, (3)

получаем комплексную схему замещения цепи . Далее, используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составля­ем систему уравнений электрического равновесия цепи:

; ;

; ,

где — комплексные сопротивления входящих в рассматриваемую цепь идеализированных элементов.

(4)

Выражение 4 представляет собой математическую запись закона Ома в комплексной форме для рассматриваемого участка цепи, причем есть комплексное входное со­противление этого участка цепи. Таким образом, комплексное входное сопротивление цепи, со­стоящей из последовательно включенных сопротивления R и индуктивности L, равно сумме комплексных сопротивлении этих элемен­тов. В дальнейшем убедимся, что аналогично можно найти комп­лексное сопротивление любого участка цепи, представляющего со­бой последовательное соединение произвольного числа идеализиро­ванных двухполюсных элементов.

Комплексное входное сопротивление рассматриваемой цепи мо­жет быть изображено на комплексной плоскости в виде вектора Z, равного геометрической сумме векторов и Длина этого вектора равна, в выбранном масштабе, модулю комп­лексного входного сопротивления цепи:

, (5)

а угол наклона к положительной вещественной полуоси — его ар­гументу:

. (6)

Очевидно, что при конечных значениях , L и R угол лежит в пределах:

(7)

Когда аргумент комплексного входного сопротивления ка­кого-либо двухполюсника равен нулю, то говорят, что его входные сопротивление и проводимость имеют чисто резистивный (вещест­венный) характер, когда имеет чисто реактивный (мнимый) характер. Если аргумент комплексного входного сопротивления двухполюсника равен , то его входные сопротивление и проводи­мость имеют индуктивный характер, если — емкостный. В рассматриваемом случае значение аргумента определяется со­отношением 7, поэтому входное сопротивление цепи имеет резистивно-индуктивный характер.

Комплексное действующее значение искомого тока:

, (8)

Действующее значение и начальную фазу тока:

(9)

Переходя от комплексного изображения тока к оригиналу, окон­чательно получаем:

.

В связи с тем что при заданной частоте внешнего воздействия установившиеся значения токов и напряжений цепи полностью определяются их действующими значениями и начальными фазами, на практике обычно не возникает необходимости находить оригиналы токов и напряжений. Задача анализа цепи считается решенной, если получены комплексные действующие значения соответствую­щих функций.

Так как напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, вектор совпадает по направлению с вектором , вектор повернут относительно вектора на угол против часовой стрелки (напряжение на индуктивности по фазе опережает ток на ). Независимо от начальной фазы напряжения вектор повернут относительно вектора по часовой стрелке на угол , т. е. ток отстает по фазе от напряжения на угол равный аргументу комплексного входного сопротивления цепи. Отметим также, что так называемый треугольник напряжений, образованный векторами , и (рис. 2.18, д), подобен треугольнику сопротив­лений (рис. 2.18, г), образованному векторами Z, u .

Из векторной диаграммы видно, что действующие значения напряжения на входе цепи U, напряжения на сопротивлении и напряжения на индуктивности , которые определяют длину сторон треугольника напряжений, связаны соотношением , т.е. действующее значение напряжения на входе цепи не равно алгебраической сумме действующих значений напряжений на элементах цепи.