33. Участки цепи с последовательным соединением элементов.

Рассмотрим неразветвленную электрическую цепь, содержащую N сопротивлений, М емкостей, К индуктивностей и ν неуправляемых источников напряжения (обобщенная однокон­турная цепь). Так как через все элементы цепи протекает один и тот же ток i, то уравнение электрического равновесия, составленное на основе второго закона Кирхгофа и компонентных уравнений, может быть записано в следующем виде:

. (1)

После приведения подобных членов (1) принимает вид

, (2)

где .

Таким образом, ток и напряже­ние на зажимах обобщенной одноконтурной цепи не изменятся, если каждую из групп последовательно включенных однотипных элемен­тов заменить одним эквивалентным элементом, параметр которого , , и рассчитывается в соответствии с (2).

Из выражения (2) следует, что при последовательном вклю­чении сопротивлений, индуктивностей и источников напряжения параметры эквивалентного элемента , и равны сумме параметров последовательно включенных элементов соответству­ющего типа.

При этом суммирование ЭДС источников напряжения произ­водится алгебраически с учетом их знаков, которые определяются тем, совпадает или не совпадает направление ЭДС с направлением обхода контура. Очевидно, что значения и будут превышать сопротивление и индуктивность любого из последовательно вклю­ченных элементов. При последовательном соединении N одинако­вых сопротивлений R или индуктивностей L параметр эквивалент­ного элемента или будет в N раз больше, чем параметр каждого из последовательно включенных элементов.

При последовательном включении емкостей значение величины, обратной , определяется как сумма величин, обратных каждой из последовательно включенных емкостей . Очевидно, что эквива­лентная емкость будет меньше любой из последовательно вклю­ченных емкостей. При последовательном включении N одинаковых емкостей эквивалентная емкость , в N раз меньше каждой из последовательно включенных емкостей.

Уравнение элект­рического равновесия цепи, составленное на основании закона Ома и второго закона Кирхгофа в комплексной форме, имеет следующий вид:

.

После преобразований получаем

, (2.131)

где .

34. Участки цепей с параллельным соединением элементов.

Пусть электрическая цепь состоит из параллельно соединенных N сопротивлений, М емкостей, К индуктивностей и ν неуправляемых источников тока (обобщенная двухузловая цепь). Все элементы цепи находятся под одним и тем же напряжением и, поэтому уравнение электрического равновесия, составленное на основании первого закона Кирхгофа, может быть записано в виде:

. (1)

После приведения подобных членов получаем:

, (2)

где .

Очевидно, что ток и напряжение на зажимах обобщенной двухузловой цепи не изменятся, если каждую из групп параллельно включенных однотипных элементов заменить одним эквивалентным элементом, параметры которого , , и , рассчитываются в соответствии с (2).

Из выражения (2) следует, что при параллельном включении емкостей и источников ток., параметры эквивалентного элемента , , равны сумме параметров параллельно включенных элементов соответствующе типа. При этом суммирование токов источ­ников тока производится алгебраически с учетом их знаков, определяемых ориентацией источников

относительно узла, для которого составляется уравнение (2). Очевидно, что превышает по значению любую из параллельно включенных емкостей ,...., . При параллельном соединении N одинаковых емкостей .

При параллельном включении сопротивлений или индуктивностей значения величин, обратных и , определяются как сумма значений всех величин, обратных параллельно включенным сопротив­лениям или индуктивностям .

Очевидно, что значения и будут меньше, чем сопротивле­ние или индуктивность любого из параллельно включенных элемен­тов соответствующего типа. При параллельном включении N оди­наковых сопротивлений R или индуктивностей , a .

Уравнение электрического равновесия цепи в комплексной форме может быть записано следу­ющим образом:

или (3)

где .

Таким образом, любой участок электрической цепи, представляющий собой параллельное соединение произвольного числа идеализированных пассивных двухполюсников, может быть заменен одним пассивным двухполюсником, комплексная проводимость которого равна сумме комплексных проводимостей всех параллельно включенных двухполюсников. Произвольное число параллельно включенных идеализированных источников тока может быть заменено одним источником, комплексное действующее значение тока которого равно алгебраической сумме комплексных действующих значений токов всех параллельно включенных источников.

Переходя в (3) от комплексных проводимостей к комплекс­ным сопротивлениям, находим эквивалентное комплексное входное сопротивление группы параллельно включенных идеализирован­ных пассивных двухполюсников:

. (4)

Выражения, подобные (3 и (4), можно получить для комплексной проводимости и комплексного сопротивления любого участка цепи, являющегося параллельным соединением произволь­ного числа идеализированных пассивных двухполюсников с задан­ным комплексным входным сопротивлением или комплексной входной проводимостью :

, (5)

где N — число параллельно включенных двухполюсников.

Используя (5), получим выражение для комплексного вход­ного сопротивления участка цепи, представляющего собой парал­лельное соединение двух элементов с комплексными сопротивлени­ями и :

. (6)