5.Основные характеристики функции

1. Область определения функции.

Область определения функции D(y)-это множество всех допустимых значений аргумента x ( независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции    имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения  .

Чтобы по графику функции  найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

2. Множество значений фнкции.

Множество значений фнкции  Е(y)- это множество всех значений, которые может принимать  зависимая переменная y.

Чтобы по графику функции   найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

3. Нули функции.

Нули функции – это те значения аргумента х, при которых значение функции (y) равно нулю.

Чтобы найти нули функции  , нужно решить уравнение   . Корни этого уравнения и будут нулями функции  .

Чтобы найти нули функции  по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции   .

4. Промежутки знакопостоянства функкции. 

Промежутки знакопостоянства функции   – это такие промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак, то есть  или  .

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции  , нужно решить неравенства   и   .

Чтобы найти  промежутки знакопостоянства функции   по ее графику, нужно

• найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен выше оси ОХ – при этих значениях аргумента 

• найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен ниже оси ОХ – при этих значениях аргумента  

5. Промежутки монотонности функции.

Промежутки монотонности функции   – это такие промежутки значений  аргумента х, при которых функция   возрастает или убывает.

Говорят, что функция    возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента   , принадлежащих промежутку I таких, что    выполняется соотношение:  .

Другими словами, функция    возрастает на промежутке I, если большему значению аргумета из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Чтобы по графику функции   определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь  слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которыхграфик идет вверх.

Говорят, что функция    убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента   , принадлежащих промежутку I таких, что    выполняется соотношение:  .

Другими словами, функция    убывает на промежутке I, если большему значению аргумета из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. 

Чтобы по графику функции   определить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь  слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которыхграфик идет вниз.

6. Точки максимума и минимума функции.

Точка   называется точкой максимума функции  , если существует такая окрестность I точки  , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

Графически это означает, что точка с абсциссой    лежит выше других точек из окрестности I графика функции  .

Точка   называется точкой минимума  функции  , если существует такая окрестность I точки  , что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

Графически это означает что точка с абсциссой    лежит ниже других точек  из окрестности I графика функции  .

Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.