Степенная функция.

Степенная функция с натуральным показателем y=xⁿ,

где n-натуральное число.

1. Область определения функции: D(f)= R;

2. Область значений: E(f)= (0+∞);

3. Функция является четной, т.е. f(-x)=f(x);

4. Нули функции: y=0 при x=0;

5. Функция убывает при x (-∞;0];

6. Функция возрастает при x [0;+ ∞);

1. a ) нет вертикальных асимптот

b) нет наклонных асимптот

8. Если n-четное, то экстремум функции x=0

Если n-нечетное, то экстремумов функции нет

9. Если n-четное, то точек перегиба нет

Если n-нечетное, то точка перегиба x=0

10. График функции:

a) Если n=2, то графиком функции является квадратная парабола;

b)Если п = 3, то функция задана фор­мулой у = х³. Ее гра­фиком является куби­ческая   парабола;

c)Если п — нечетное натуральное число, причем п 1, то функция обладает    свойствами теми же, что и у = х³.

n – четное

n - нечетное

[1]

[2]

Рассмотрим свойства степенной функции с нечетным показателем (п 1):

1.  Область определения функции: D(f)= R;

2.  Область значений [0,+∞];

3.  Функция является четной, т.е. f(-х)=f(х);

4.  Нули функции: у = 0 при х = 0;

5.  Функция убывает на промежутке (-∞;0), возрастает на промежутке (0;+∞).

6. График функции: (1)

Рассмотрим свойства степенной функции с четным показателем :

1.  Область определения функции: D(f)= R;

2.  Область значений: E(f)= R;

3.  Функция является нечетной, т.е. f(-х)=-f(х);

4.  Нули функции: у = 0 при х = 0;

5.  Функция возрастает на всей области определе­ния.

6. График функции: [2] Показательная функция.

Y = a^x

2. Область определения функции: -∞ < х < +∞

3. Множество значений функции: 0 < y < +∞

4. Функция ни четная, ни не чётная, так как f(-x) = a^-x

5. Функция не является периодической.

6. Асимптоты графика функции:

7. Вертикальных асимптот не существует,

8. Горизонтальная асимптота у = 0

1. Если а > 1, то функция возрастает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис.1);

2. если 0 < a < 1, то функция убывает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис. 2);

3. Точка (0; 1) – единственная точка пересечения с осями координат.

9. Не существует точек перегиба.

10. Не существует экстремальных точек.

[2]

[1]

Логарифмическая функция.

Y = log_ax

1. Область определения функции: 0 < x < ∞

2. Множество значений функции: -∞ < y < +∞

3. Функция ни четная, ни нечетная, так как f(-x) = log_a(-x)

4. Функция не периодическая

5. Асимптоты графика функции:

Вертикальные асимптоты х = 0

Горизонтальных асимптот не существует

6. Если a > 1, то функция возрастает на промежутке 0 < x < +∞ (на рис.1);

если 0 < a < 1, то функция убывает на этом же промежутке (на рис.2);

7. Точка (1; 0) – единственная точка пересечения с осями

координат.

8.Не существует точек перегиба.

9.Не существует экстремальных точек.

[2]

[1]

Тригонометрические функции.

Функция y=sin x

Свойства функции y=sin x:

1. Область определения функции: D(f)=R;

2. Область значений: E(f)=[-1;1];

3. Функция является нечетной, т.е. sin(-x) = - sin x;

4. Функция периодическая с положительным наименьшим периодом 2π;

5. Нули функции: sin x = 0 при x = πk, k Z;

6. Функция принимает положительные значения: sin x>0 при x ( 2πk π+2πk), k Z;

7. Функция принимает отрицательные значения: sin x<0 при x ( π+2πk 2π+2πk), k Z;

8. Функция возрастает на [-1;1] при x [ - +2πk  +2πk], k Z;

9. Функция убывает на [1;-1] при x [ +2πk  +2πk], k Z;

10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x= +2πk, k Z;

11. Функция принимает наименьшее значение, равное 1, в точках x= +2πk, k Z;

12. a) нет вертикальных асимптот

b) нет горизонтальных асимптот

y=sinx

13. Графиком функции является синусоида.

Функция y=cos x

Свойства функции y=cos x:

1. Область определения функции: D(f)=R;

2. Область значений: E(f)=[-1;1];

3. Функция является четной, т.е. cos (-x) = cos x;

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π;

5. Нули функции: cos x = 0 при x = +πk, k Z;

6. Функция принимает положительные значения: cos x>0 при x ( - +2πk; +2πk), k Z;

7. Функция принимает отрицательные значения: cos x<0 при x ( +2πk  +2πk), k Z;

8. Функция возрастает на [-1;1] при x [ -π+2πk 2πk], k Z;

9. Функция убывает на [1;-1] при x [2πk π+2πk], k Z;

10. Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках x=2πk, k Z;

11. Функция принимает наименьшее значение, равное 1, в точках x=π+2πk, k Z;

12. a ) нет вертикальных асимптот

b ) нет горизонтальных асимптот

13. Графиком функции является косинусоида:

y=cosx

Функция y=tg x

Свойства функции y=tg x:

1. Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x = +πk, k Z;

2. Область значений: E(f)=R;

3. Функция является нечетной, т.е. tg (-x) = - tg x;

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π;

5. Нули функции: tg x = 0 при x = πk, k Z;

6. Функция принимает положительные значения: tg x>0 при x ( πk; +πk), k Z;

7. Функция принимает отрицательные значения: tg x<0 при x ( - +πk πk), k Z;

8. Функция возрастает на (- ;+∞) при x (- +πk   +πk ), k Z;

9. a ) вертикальные асимптоты x= + πn

b) наклонных асимптот нет

10. Г

    y=tgx

    рафиком функции является тангенсоида:

Функция y=ctg x

Свойства функции y=ctg x:

1. Область определения функции: D(f)=R , кроме чисел вида x = πn , где n Z;

2. Область значений: E(f)=R;

3. Функция является нечетной, т.е. ctg (-x) = - ctg x;

4. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π;

5. Нули функции: ctg x = 0 при x = +πn, n Z;

6. Функция принимает положительные значения: ctg x>0 при x ( πn; +πn), n Z;

7. Функция принимает отрицательные значения: ctg x<0 при x ( +πn π +πn), n Z;

8. Функция убывает в каждом из промежутков (πn  π +πn), n Z;

9. a) вертикальные асимптоты x= πn и x=0

b) наклонных асимптот нет

10. Г рафиком функции является котангенсоида: y= ctgx