37. Необхідність розширення множини додатних раціональних чисел. Поняття додатного ірраціонального числа.

Розглянемо питання вимірювання довжини відрізка.

I крок.

Нехай дано одиничний відрізок і відрізок .

Відрізок складається з рівних відрізків довжиною і відрізка , який коротший відрізка , тобто , Тоді

де і - наближені значення довжини відрізка при одиниці довжини .

- найближче значення довжини відрізка з недостачею

– найближче значення довжини відрізка з надлишком.

II крок.

Для одержання відповіді на питання щодо довжини відрізка з більшою точністю, використаємо відрізка і відкладемо відрізок у відрізку

При цьому можливі два випадки:

1) відрізок відкладається у відрізку , точну кількість разів , тоді .

n,n₁ - скінченний десятковий дріб; наприклад:

2) відрізок , не відкладається у відрізку ,точну кількість разів, тобто (відрізок складається з відрізків довжиною і відрізка коротшого .

, тоді , де і - наближені значення довжини відрізка з недостачею і з надлишком.

Процес вимірювання можна продовжувати, беручи новий одиничний відрізок .

На практиці цей процес вимірювання довжини відрізка може на деякому кроці закінчитись.

В цій ситуації довжина відрізка може виражатись скінченним десятковим дробом.

Висновок.

При вимірюванні довжини відрізків можливі два випадки:

1)На деякому кількісному кроці процес вимірювання закінчиться. Тоді довжина відрізка буде виражатись скінченним десятковим дробом

2)Процес вимірювання довжини відрізка може бути нескінченним. Довжина відрізка буде виражатись символом (числом) який називається нескінченним десятковим дробом.

Нескінченний десятковий дріб може бути періодичний (5,7(23)) і неперіодичний (3,214357…).

Будь-який нескінченний десятковий періодичний дріб – це деяке додатне раціональне число.

Але ж довжину відрізка можна виразити і нескінченним десятковим дробом, тобто існують числа, які не належать до множини додатних раціональних чисел ( . Тому і виникає необхідність розширити множину , доповниnи її іншими додатними числами, які не є раціональними. Такі числа називаються ірраціональними.

Означення.

Нескінченний десятковий дріб називається ірраціональним числом.

- множина додатних ірраціональних чисел.

Приклад. Якщо за одиницю довжини взяти сторону квадрату, то довжина діагоналі цього квадрата не може бути виражена додатним раціональним числом.

За теоремою Піфагора ;

-ірраціональне число

Приклади ірраціональних чисел:

38. Додатні ірраціональні числа. Множина додатних дійсних чисел, її властивості.

Означення.Нескінченний десятковий дріб називається ірраціональним числом.

Приклади ірраціональних чисел:

, , , ,

Означення.Об’єднання множини додатних раціональних і додатних ірраціональних чисел називається множиною додатних дійсних чисел.

; - множина додатних дійсних чисел.

Властивості множини :

1. Множина нескінчена, бо множина і множина нескінченні; - не має ні найбільшого, ні найменшого числа.

2. Множина упорядкована, бо виконуються властивості антисиметричність і транзитивність, тобто має місце відношення порядку.

Антисиметричність і якщо , то , де - додатні дійсні числа.

Транзитивність: якщо , то , де – додатні дійсні числа.

Причому множина - лінійно впорядкована множина.

3)Множина - щільна, бо для будь-якої пари додатних дійсних чисел знайдеться таке додатне дійсне число, що .

4)Множина - незчисленна, бо нерівнопотужна множині натуральних чисел (не можна перерахувати всі дійсні додатні числа).

39.Додавання і віднімання додатних дійсних чисел

Означення. Сумою додатних дійсних чисел називають число , яке задовольняє нерівність:

,

де - наближені значення чисел з недостачею;

- наближені значення чисел з надлишком.

Дія, за допомогою якої знаходять суму, називається, додавання. При додаванні називаються числа : I доданок,II доданок, сума.

Приклад 1. Знайдемо суму чисел

1,4142

1,7320

1,4142+1,7320

3,1462

З точністю до 0,001

Властивості:

1. - переставний закон

2. – сполучний закон, де додатні дійсні числа

3. Сума додатних дійсних чисел існує і вона єдина.

Означення. Різницею додатних дійсних чисел і називають таке додатне число , що .

Різниця будь-яких додатних дійсних чисел існує тоді і тільки тоді, коли

Якщо різниця додатних дійсних чисел існує, то вона єдина .

Дія, за допомогою якої знаходять різницю називається, відніманням. Дія віднімання обернена до дії додавання.

Числа при відніманні називається зменшуване, від’ємник, різниця.

Приклад 2. Знайдемо різницю чисел і

1,7320

1,4142

0,3178

З точністю до 0,001 .