41.Таблица производных элементарных функций (доказательство)
42.Дифференцируемость функций, необходимое и достаточное условия дифференцируемости функций.
Определение. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x = x0, то функция дифференцируема в этой точке.
Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке.
При этом
|
Δy = f(x0+Δx)-f(x0) = f '(x0)Δx+α(Δx)Δx, |
|
где α(Δx) - бесконечно малая функция, при Δx→0.
43.Дифференциал функции, дифференциал суммы, производная, частного, применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Пусть
существует производная
-го
порядка для функции
.
Тогда дифференциал
-го
порядка называется дифференциал от
дифференциала n-го порядка
44.Производные и дифференциалы высших порядков.
Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производнойфункции f и обозначается f". Таким образом,
f"(x) = (f'(x))'.
Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,
f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).
Число n называется порядком производной.
Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.
Если x - независимая переменная, то
dx = const и d2x = d3x = ... = dnx = 0.
В этом случае справедлива формула
dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.
45.Теорема Ролля (доказательство)
Пусть
выполняются условия: а)функция
непрерывна на отрезке
;
б)функция
дифференцируема на интервале
;
в)на
концах отрезка функции принимает
одинаковые значения
.
Тогда существует по крайней мере одна
точка
,
в которой производная равна нулю
.
46.Теорема Лагранжа (доказательство)
Пусть
выполняются условия: а)
функция
непрерывна на отрезке
;
б)функция
дифференцируема на интервале
.
Тогда существует по крайней мере одна
точка
,
в которой
.
47.Теорема Коши (доказательство)
Пусть
выполняются условия: а)функции
и
непрерывны на отрезке
;
б)функции
и
дифференцируема на интервале
.
Тогда существует по краней мере одна
точка
,
в которой
.
48.Раскрытие неопределенностей в пределах, правило Лопиталя.
(правило
Лопиталя для раскрытия неопределенностей
типа «0/0»). Пусть выполняются условия:
а)
функции
и
определены в некоторой окрестности
точки а, где а- число или символы
;
б)
,
;
в)существуют
производные
и
в упомянутой окрестности, за исключением,
быть может, самой точки а, причем
при
;
г)существует
конечный или бесконечный предел
.
Тогда справедливо равенство
.(правило
Лопиталя для раскрытия неопределенности
типа «
»).
Пусть выполняются условия: а)
;
б)существуют
производные
и
в некоторой окрестности точки а, за
исключением, быть может, самой точки
а; в)
в упомянутой окрестности; г)существует
конечный или бесконечный предел
.
Тогда справедливо равенство