20.Понятие о линиях второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Общее уравнение линии второго порядка.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек этой же плоскости, называемых фокусами, есть данное положительное число 2а, большее, чем расстояние 2с между фокусами . Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютное значение разности расстояний о двух заданных точек этой же плоскости , называемых фокусами, есть данное положительное число 2а, меньшее, чем расстояние 2с между фокусами. . Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус и называемой директисой.

21.Общее уравнение плоскости, угол между плоскостями.

В декартовой прямоугольной системе координат общее уравнение плоскости имеет вид

Угол между плоскостями.

Двугранный угол между плоскостями равен углу о бразованному нормальными векторами этих

22.Нормальное уравнение плоскости, расстояние от точки до плоскости.

Нормальное уравнение плоскости имеет следующий вид . Расстояние от точки до плоскости, заданной:1. Общим уравнением, вычисляется по формуле ; 2.нормальным уравнением, вычисляется по формуле

23.Общее уравнение прямой в пространстве, каноническое уравнение прямой, параметрическое уравнение.

В декартовой системе координат общее уравнение прямой имеет вид . Кононическое уравнение прямой . Параметрическое уравнение прямой

24.Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых и плоскости.

 Угол между прямыми. 

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

   и      косинус угла между ними можно найти по формуле:

                  .                                                   (8.14)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:

   -  условие параллельности прямых,                                     (8.15)

  -   условие перпендикулярности прямых.   

25.Расстояние от точки до прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Расстояние от точки до прямой, заданной уравнениями, вычисляется по формуле

26.Предел функции непрерывного аргумента (примеры). Бесконечно большой аргумент.

Функция f (x₁,...,x_n) имеет пределом число A при стремлении переменных x₁,...,x_n (соответственно) к a₁,...,a_n, если для  , найдётся такое  , что

когда 

Для функции одной переменной значение x₁ определено на интервале   ; для функции двух переменных точка x₁, x₂принадлежит прямоугольнику со сторонами:   . В случае n>3, говорят, что точка a_i находится внутри гиперкуба.

С понятием “предел функции” естественно связано определение “непрерывность функции”.

Говорят, что функция f (x₁, x₂...,x_n) непрерывна в точке  , если имеет место равенство

при 

В противном случае функция имеет разрыв в точке M'.

Непрерывность функции многих переменных можно определить так: для любого заданного   может быть найдено такое  , что

,

как только выполнится условие:

Рассматривая разность   как приращение независимых переменных  , а разность

как приращение функции, можно сказать (как и в случае функций одной переменной), что функция непрерывна, если бесконечно малым приращениям независимых переменных отвечает бесконечно малое же приращение функции. Заметим, что в этом случае функция непрерывна в отдельности по каждой переменной x_i, т.е. частные приращения функции конечны при частных приращениях аргументов.

Рассмотрим, например, функцию

По приведённому выше определениюU(x,y)  непрерывна, если частные приращения функции конечны при частных приращениях аргументов. Зададим некоторое числовое значение y₀ и исследуем функцию U (x, y₀)   вблизи точки x=1:

 

В нашем примере пределы функции слева от точки x=1 (-0) и справа (+0) не равны. То есть при малом изменении аргумента xвблизи точки x=1 происходит бесконечно большое изменение функции она разрывная. Нетрудно заметить, что условие непрерывности нарушается не только для некоторого фиксированногоy₀, но и для всех y.

Таким образом, заданная U(x,y) разрывная на линии, проходящей параллельно оси y через точку x=1.

Если исследовать U(x,y) для фиксированного x₀ (не равного единице), то мы получим непрерывность U(x,y) по y.

Таким образом, наша функция разрывная, т.к. одно из частных бесконечно малых приращений аргумента (x вблизи точки x=1) приводит к бесконечно большому приращению функции U(x,y)