32.Признак существования предела функции. Первый замечательный предел(доказательство)

Первый замечательный предел раскрывает неопределенность типа «0/0»:

33.Признак существования предела числовой последовательности. Второй замечательный закон.

Второй замечательный предел раскрывает неопределенность типа « »: число е – иррациональное число, основание натуральных логарифмов

34.Непрерывность функций, классификация точек разрыва (пример)

Определение непрерывности функции в точке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке  , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке  , то есть  .

Следствие.

ЗНАЧЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ СОВПАДАЕТ СО ЗНАЧЕНИЕМ ФУНКЦИИ В ЭТИХ ТОЧКАХ.

Пример.

Доказать непрерывность функции   в точке  .

Решение.

Во-первых, покажем существование предела слева. Для этого возьмем последовательность аргументов  , сходящуюся к  , причем  . Примером такой последовательности может являться

Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид

На рисунке соответствующие значения показаны зелеными точками.

Легко видеть, что эта последовательность сходится к -2, поэтому  .

Во-вторых, покажем существование предела справа. Для этого возьмем последовательность аргументов  , сходящуюся к  , причем  . Примером такой последовательности может являться

Соответствующая последовательность значений функции будет иметь вид

На рисунке соответствующие значения показаны синими точками.

Легко видеть, что эта последовательность также сходится к -2, поэтому  .

Этим мы показали, что пределы слева и справа равны, следовательно, существует предел функции   в точке  , причем 

Вычислив значение функции в точке   можно говорить о выполнении равенства  , это доказывает непрерывность исходной функции в точке.

Графическая иллюстрация.

35.Действия над непрерывными функциями. Свойства непрерывных функций.

Непрерывность суммы и произведения непрерывных функций.

Арифметические операции над непрерывными функциями приводят к непрерывным функциям.

Теорема. ! заданные на одном и том же множестве функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции f(x) ±g(x), f(x)*g(x) и f(x)/g(x) непрерывны в точке х₀ (частное условие при g(х₀) ≠0)

Доказательство. Так как непрерывные в точке x₀функции f(x) и g(x) имеют в этой точке предельные значения f(x₀) и g(x₀), то по теореме о пределах функций (гласит о том, что, если функции f(x) и g(x) имеют в точке x₀ предельные значения В и С, то функции f(x)±g(x), f(x)*g(x) и f(x)\g(x) (при C ≠0) имеют в точке x₀ предельные значения, равные соответственно B±C, B*C и B\C) предельные значения функций f(x)±g(x), f(x)*g(x) и f(x)\g(x) существуют и соответственно равны f(x₀)±g(x₀), f(x₀)*g(x₀) и f(x₀)\g(x₀). Эти величины как раз равны значениям соответствующих функций в точке x₀. Следовательно, согласно Определению 1 эти функции непрерывны в точке x₀.

Основные свойства непрерывных функций

Функция f: [a, b] → R называется непрерывной на сегменте [a, b], если она непрерывна на интервале ]a, b[ и в точке a непрерывна справа, а в точке b - слева.

Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], тогда:

1) она ограничена на этом сегменте;

2) если  , то на сегменте [a, b] существуют точки x₁ и x₂ такие, что f(x₁) = m, f(x₂) = M (теорема Вейерштрасса);

3) она принимает на каждом сегменте  , все промежуточные значения между f(α) и f(β) (теорема Коши).

В частности, если f(α)f(β) < 0, то найдется такое значение γ (α < γ < β), то f(γ) = 0.

Функция f: ]a, b[ → R называется кусочно-непрерывной на интервале ]a, b[, если она непрерывна во всех точках этого интервала, кроме конечного числа точек разрыва первого рода и конечного числа точек устранимого разрыва.