1. Метод правых прямоугольников

2. Интерполяционная формула Лагранжа

1) Метод правых прямоугольников  Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т.е. на n элементарных отрезков. Длина каждого элементарного отрезка  . Точки деления будут: x₀=a; x₁=a+h; x₂=a+2× h, ... , x_n-1=a+(n-1)× h; x_n=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f(x) в узлах, обозначим их y₀, y₁, y₂, ... , y_n. Cтало быть, y₀=f(a), y₁=f(x₁), y₂=f(x₂), ... , y_n=f(b). Числа y₀, y₁, y₂, ... , y_n являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x₀, x₁, x₂, ... , x_n. Площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

Формула правых прямоугольников:

2) Лагранжа интерполяционная формула

ЛАГРАНЖА ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА

форма записи многочлена степени п(интерполяционного многочлена Лагранжа), интерполирующего заданную функцию f(х).в узлах х ₀, x₁,..., х _п:

В случае, когда значения х _i являются равноотстоящими, т. е.  с помощью обозначений (х-x₀)/h=t формула (1) может быть приведена к виду 

В выражении (2), наз. Л. и. ф. для равноотстоящих узлов, коэффициенты, стоящие перед f(х _i):

наз. коэффициентами Лагранжа. Если функция f имеет производную порядка n+1 на отрезке [a, b], все узлы интерполяции лежат на этом отрезке и для любой точки 

то существует такая точка   что 

где 

Если абсолютная величина производной   ограничена на отрезке [а, b] постоянной Ми если в качестве узлов интерполяции выбраны точки, в к-рые перейдут корни многочлена Чебышева степени n+1 при линейном отображении отрезка [- 1, 1] на отрезок [а, b], то для любого   справедливо неравенство 

Если узлы интерполяции - комплексные числа z₀, z₁ ,. . ., z_n и лежат в нек-рой области G, ограниченной кусочно гладким контуром   а функция f является однозначной аналитич. функцией в замыкании области G, то Л. и. ф. имеет вид 

причем 

Л. и. ф. для интерполирования с помощью тригоно-метрич. полиномов наз. формула 

дающая тригонометрич. полином порядка п, принимающий в заданных узлах х ₀, x₁,..., х _п. данные значения y₀, y₁,..., y _п.

Билет №5

1. Метод Гаусса

2. Метод Хорд

1) Метод Гауса

В системе выбирается уравнение, в котором находится наибольший по величине коэффициент системы (главный член). И делят это уравнение на этот коэффициент.

После этого исключают из остальных уравнений то неизвестное, при котором был этот коэффициент. Для удобства главный элемент помещают в первую строку и первый столбец матрицы, над которой производят соответствующие преобразования.

Далее, оставляя неизменным уравнение с главным элементом, ищут наибольший по абсолютной величине коэффициент в остальных уравнениях (новый главный элемент. И проделывают те же операции), далее операции снова повторяются, пока не останется одно уравнение с одним неизвестным. Т.е. пока система не будет приведена к диагональному виду.

Метод Хорд

В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближения к корню уравнения f(x)=0, принимаем значения , , точек пересечения хорды АВ с осью Ox.

Для точки пересечения хорды АВ с Ох (х= , у=0)

f''(x)<0 => этот случай сводится к нашему, если записать уравнение в виде f(x)=0.

Тогда кривая y= f(x) - выпукла вниз => расположена ниже АВ.

Возможно 2 случая:

1) f(а)>0

конец а - неподвижен и следовательно ;

2) f(а)<0

конец b - неподвижен и следовательно ;

Билет №6