2. Интерполяция многочленами.
Цель задачи о приближении (интерполяции): данную функцию у(х) требуетсяприблизительно заменить некоторой функцией j(х), свойства которой намизвестны так, чтобы отклонение в заданной области было наименьшим. интерполяционные формулы применяются, прежде всего, при замене графически заданной функции аналитической, а также для интерполяции в таблицах.
3.
4.
5.
Билет № 14.
Постановка задачи численного интегрирования
Теперь попробуем вычислить каким-либо методом математического анализа аналогичный интеграл вида и убедимся в том, что он аналитически не вычисляется. Однако практические задачи в своем большинстве приводят именно к такого типа интегралам. Как решается эта проблема? В этих случаях применяется численное интегрирование. Кроме того, если функция y=f(x) задана таблично, то приближенное вычисление интеграла также выполняется численно.
Прежде чем переходить к численным методам подсчета интегралов, вспомним, как вводится интеграл Римана в курсе математического анализа. Проводится разбиение отрезка [a, b] на N частичных отрезков [xi-1, xi], i = 1, ..., N, внутри каждого из которых выбирается произвольная точка ξi. Далее составляется интегральная сумма:
SN=∑Ni=1 f(ξi ) (xi - xi-1 )
Тогда интеграл Римана определяется как следующий предел интегральных сумм:
Если зафиксировать число N и не переходить к пределу, то получим некоторое приближенное значение интеграла. Простейшие численные методы нахождения значения интеграла основаны на подобных соображениях.
Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла: (4.15)
где y=f(x) - заданная функция.
Введем на отрезке [a,b] сетку :
Точки xi называют узлами сетки (i=1, ..., N), отрезки [xi-1,xi] - частичными отрезками, числа hi=xi-xi-1 называют шагами сетки (i=1, ..., N).
В качестве приближенного значения интеграла L[f] рассмотрим следующее: LN[f] ≡ (4.16)
где li[f] - формула для приближенного вычисления интеграла на частичном отрезке [xi-1,xi].
Погрешности Суммы и разности
14.4
Билет 15
Метод итераций. Одним из наиболее важных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение
где
f(x) – непрерывная функция, и требуется
определить его вещественные корни.
Заменим уравнение (1) равносильным
уравнением
Выберем каким-либо способом грубо приближенное значение корня x0 и подставим его в правую часть уравнения (2). Тогда получим некоторое число
Подставляя теперь в правую часть равенства (3) вместо x0 число x1 получим новое число x2=j (x1). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел
Если
эта последовательность – сходящаяся,
т.е. существует предел
то,
переходя к пределу в равенстве (4) и
предполагая функцию j (x) непрерывной,
найдем:
Или x =j (x). (5)
Таким образом, предел x является корнем уравнения (2) и может быть вычислен по формуле (4) с любой степенью точности.
Доказано, что достаточными условиями сходимости итерационного процесса является выполнение условия | j (x)<1 для xО [a, ,b].
При этом процесс сходится к единственному корню x .
На
рис. 1 приведен пример сходящегося
итерационного процесса xn+1=j (xn) при 0<j
’(x)<1 и на рис.2 – расходящегося при j
’(x)<1.
