1.4. Результаты ранжирования выборочных данных и вычисление моды и медианы

Используя исходные данные, запишем все заданные значения выборки в виде неубывающей последовательности значений случайной величины Х. Данный ранжированный ряд представлен в Табл. 5.

Таблица 5.

Ранжированный ряд

1	4,0939	11	5,0976	21	5,4392	31	5,8936	41	6,2077	51	6,9472
2	4,1663	12	5,1557	22	5,4416	32	5,9042	42	6,3388	52	7,0335
3	4,2622	13	5,2285	23	5,5505	33	5,9347	43	6,4105	53	7,0526
4	4,4521	14	5,2344	24	5,6098	34	5,9919	44	6,4288	54	7,2951
5	4,4552	15	5,2407	25	5,6249	35	6,0200	45	6,4290	55	7,3448
6	4,5856	16	5,3274	26	5,6972	36	6,0695	46	6,5198	56	7,5504
7	4,5924	17	5,3424	27	5,7800	37	6,1307	47	6,6541	57	7,8274
8	4,5952	18	5,3566	28	5,8139	38	6,1708	48	6,6721	58	7,8861
9	4,9694	19	5,4048	29	5,8452	39	6,1793	49	6,8124	59	7,9363
10	5,0566	20	5,4304	30	5,8785	40	6,2061	50	6,9077	60	8,3696

Интервал [4,0939; 8,3696], содержащий все элементы выборки, разбиваем на частичные интервалы, используя при этом формулу Стерджеса для определения оптимальной длины и границ этих частичных интервалов.

По формуле Стерджеса длина частичного интервала равна:

Для удобства и простоты расчётов округлим величину . В нашем случае выбираем h =0,62 и вычисляем границы интервалов.

За начало первого интервала принимаем значение

Далее вычисляем границы интервалов:

;

Вычисление границ заканчивается, как только выполняется неравенство x_n > X_max, то есть x₈ = 8,7367 > X_max = 8,3696.

После определения частичных интервалов, определяем экспериментальные частоты , равные числу членов вариационного ряда, попадающих в этот интервал:

где , - границы i-го интервала; - значения вариационного ряда.

Набор частот должен удовлетворять равенству:

…

Относительной частотой называют долю наблюдений, попадающих в рассматриваемый интервал:

Плотность распределения относительных частот определим как отношение относительных частот к величине интервала:

,

где является серединой интервала

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны эмпирической плотности распределения:

,

где i =1,2,…, k.

Площадь i-го прямоугольника равна доле случайных величин, попавших в i-й интервал:

.

Площадь гистограммы относительных частот равна сумме площадей прямоугольников:

Таким образом, функция является статистическим аналогом плотности распределения случайной величины Х, реализации которой получают при статистическом наблюдении.

Полигоном частот называется ломаная линия, отрезки которой соединяют середины горизонтальных отрезков, образующих прямоугольники в гистограмме.

Полигоном относительных частот называется ломаная линия с вершинами в точках: ; .

По результатам вычислений составим таблицу (Табл.6.) значений выборочной функции плотности.

Таблица 6.