13. Линейные пространства

Непустое множество L элементов x, y, z… называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. которое называется их суммой и обозначается , причем выполняются следующие условия:

1)

2)

3)

4)

2. и определен , который называется произведением элемента на число , причем выполняется:

1)

2)

3)

4)

Примеры линейных пространств.

1. с обычными операциями «+» и «*» представляет собой линейное пространство.

2. является линейным пространством, оно определяется как упорядоченные наборы действительных чисел , где ,

, если рассматривать множество упорядоченных наборов комплексных чисел с теми-же операциями, то получим мерное комплексное пространство.

3. Непрерывные (действительные или комплексные) функции на некотором отрезке с обычными операциями сложения и умножения их на числа образуют линейное пространство .

4. Пространство , элементами которого служат последовательности чисел (действительных или комплексных), для которых выполняется условие с операциями

(1)

(2)

Является линейным пространством.

5. Сходящиеся последовательности с операциями сложения и умножения на числа (1), (2) образует линейное пространство С.

6. Последовательности, сходящиеся к нулю с операциями сложения и умножения на число (1), (2) образуют линейное пространство .

7. m (пространство ограниченных последовательностей) с теми же операциями (1), (2) образует линейное пространство.

8. Множество всех числовых последовательностей с операциями (1), (2) образует линейное пространство .

14. Линейная зависимость. Мерность пространства. Базис. Линейные многообразия.

Элементы линейного пространства R называют линейно зависимыми, если не все равные нулю, а линейная комбинация .

называют линейно независимыми если из следует, что .

Бесконечная система элементов x, y, … линейного пространства L называется линейно независимой, если любая конечная подсистема этих элементов линейно независима.

Линейное пространство L имеет размерность n , если в нем система из n линейно независимых элементов, а любая система из элемента линейно зависима.

Если в L можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых элементов, то говорят, что пространство L бесконечномерно.

Базисом в n-мерном пространстве L называется любая система из n линейно независимых элементов.

Примеры:

конечномерны.

бесконечномерны.

Линейные многообразия.

Непустое множество называется линейным многообразием, если

Любое линейное пространство имеет два линейных многообразия и само пространство L.

15. Нормированные пространства. Сходимость по норме. Примеры. Подпространства.

Пусть L – линейное пространство. Нормой в L называют функционал P(x), удовлетворяющий следующим условиям:

.

Линейное пространство L, в котором задана некоторая норма называют нормированным пространством. P(x)= ||x||.

.

В нормированном пространстве можно ввести расстояние.

, функция введенная таким образом является метрикой, и пространство L становится метрическим пространством.

В нормированном пространстве можно ввести понятие сходимости по норме.

последовательность элементов из нормированного пространства L, говорят что сходится к х по норме пространства L т.е. .

Примеры линейных нормированных пространств.

, если .

В , где элемент ,… можно ввести следующие нормы :

а)

б)

в) .

В .

В пространстве m .

Рассмотрим пространство непрерывных функций x(t) определенных на [0,1] и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до k-го порядка включительно,

Получим пространство - банахово пространство.

Замкнутое линейное многообразие в нормированном пространстве L называют подпространством. В конечномерном нормированном пространстве всякое линейное многообразие является подпространством (в бесконечномерном случае это не так).

Наименьшее замкнутое подпространство содержащее систему будет называться подпространством порожденным данной системой элементов .

Система элементов лежащая в нормированном пространстве L называется полной, если линейное замыкание системы есть все пространство L.

16. Евклідові простори. Норма в евклідовому просторі. Лінійний простір з фіксованим у ньому скалярним добутком називається евклідовим простором. Скалярним добутком у дійсному лінійному просторі є дійсна функція (x,y), визначена для кожної пари елементів (x,y) є R і яка задовольняє таким умовам: 1)(x,y)=(y,x) 2 3) 4 , причому тільки при У евклідовім просторі вводится норма за допомогою формули

17. Ортогональні системи. Приклади евклідових просторів та ортогональних базисів у них. Система ненульових векторів з R називається ортогональною, якщо при . Якщо вектори ортогональні, то вони лінійно незалежні. Дійсно, нехай ; оскільки - ортогональна система, маємо , але і звідси для всіх Приклади: 1. n-вимірний арифметичний простір , елементами якого є системи дійсних чисел зі звичайними операціями додавання і множення на число і скалярним добутком , являє собою приклад евклідового простору. Ортогональний нормований базис у ньому утворюють вектори:

…..................... 2. Простір з елементами , де , і скалярним добутком - евклідів простір. Найпростіший ортогональний базис: 3. Простір , що складається з неперервних дійсних функцій на [a,b], зі скалярним добутком - евклідів простір . Ортогональний базис, що складається з тригоном. функцій: 18. Гілбертові простори. Ізоморфізм. Повний евклідів простір нескінченного числа векторів називаєтся гільбертовим простором. Таким чином, гільбертовим простором називають сукупність Н елементів f,g,..., довільної природи, що задовольняють таким умовам: 1) Н - евклідів простір 2) Простір Н повний по метриці 3) Простір Н - нескінченновимірний, тобто в ньому для будь-якого n лінійно незалежних елементів. 4) Н - сепарабельний, тобто в ньому існує зліченна всюди щільна множина. Два евклідові простори R і R*називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити взаємо однозначну відповідальність так, що . Інакше, ізоморфізм евклідових просторів - це взаємно однозначна відповідність, що зберігає як лінійні операції, визначені в цих просторах, так і скалярний добуток.

19. Теорема про ортогоналізацію. Т. Нехай f₁,…,f_n,… (1) - лінійно незалежна система елементів в евклідовім просторі R. Тоді в R існує система елементів ϕ₁,…,ϕ_n,… (2), що задовольняє таким умовам: 1. Система (2) ортогональна і нормована; 2. Кожний елемент ϕ_n являє собою лінійну комбінацію елементів f₁,…,f_n : ϕ_n=a_n1f₁+…+a_nnf_n , причому a_nn ≠0; 3. Кожен елемент f_n можна подати у вигляді f_n =b_n1 ϕ₁ +…+ b_nn ϕ_n , причому b_nn ≠0. Доведення: Елемент ϕ₁ знаходимо у вигляді ϕ₁ =a₁₁ f₁ ; при цьому a₁₁ визначається з умови (ϕ₁ , ϕ₁)=a₁₁² (f₁ , f₁)=1, звідки a₁₁ =1\b₁₁ =±1\ . Ясно, що ϕ₁ визначається однозначно (з точністю до знака). Нехай елементи ϕ_k (k<n), що задовольняють умовам 1-3, вже побудовані. Тоді f_n можно подати у вигляді f_n = b_n1 ϕ₁ +…+ b_nn-1 ϕ_n-1 +h_n , де (h_n , ϕ_k)=0 при k<n. Дійсно, відповідні коефіцієнти b_nk , а значить, і елемент h_n однозначно визначаються з умов: (h_n , ϕ_k)=(f_n - b_n1 ϕ₁-…- b_nn-1 ϕ_n-1, ϕ_k)=( f_n, ϕ_k)- b_nk(ϕ_k, ϕ_k)=0. Очевидно, що (h_n , h_n)˃0, припущення (h_n , h_n)=0 було б супротивним лінійній незалежності системи (1). Візьмемо ϕ_n = h_n \ . З індуктивної побудови ясно, що h_n , а звідси, і ϕ_n виражаються через f₁,…,f_n ,тобто ϕ_n = a_n1f₁+…+a_nnf_n , де a_nn = 1\ ≠0. Крім того, (ϕ_n , ϕ_n)=1, (ϕ_n , ϕ_k)=0 (k<n) і f_n =b_n1 ϕ₁ +…+ b_nn ϕ_n (b_nn= ), тобто ϕ_n задовольняє умовам теореми. Перехід від системи (1) до системи, що задовольняє умовам 1-3 називається процесом ортогоналізації. Підпростори породжені системами (1) і (2), співпадають між собою, звідси ці системи повні, але не повні одночасно.

20. Теорема Риса – Фішера. Теорема про повноту ортогональної нормованої системи в повному сепарабельному евклідовому просторі. Т. (Риса-Фішера) Нехай {ϕ_n} – довільна ортогональна нормована система у повному евклідовому просторі R, і нехай числа с₁ , … ,с_n , … такі, що ряд (3) збіжний. Тоді існує такий елемент fєR, що с_k =(f, ϕ_k ) і =(f,f)=||f||² . Доведення: Нехай f_n= . Тоді = = . Оскільки ряд (3) збіжний, то звідси в силу повноти R випливає збіжність послідовності {f_n} деякого елемента fЄR. Далі (f,ϕ_i)=(f_n,ϕ_i)+(f-f_n,ϕ_i) (4), причому праворуч перший доданок при n≥I дорівнює с_і , а другий прямує до нуля при n→∞, бо |(f-f_n, ϕ_i)|≤ . Ліва частина рівності (4) від n не залежить; тому, перейшовши в ньому до границі при n→∞, одержимо, що (f,ϕ_i)=c_i. Оскільки, за означенням f , →0 при n→∞, то →0 при n→∞. Теорема. Для того, щоб ортогональна нормована система {ϕ_n} в повному сепарабельному евклідовім просторі була повна, необхідно і достатньо, щоб в R не існувало ненульового елемента ортогонального всім елементам системи {ϕ_n}. Доведення Нехай система {ϕ_n} повна, і, звідси, замкнена. Якщо f ортогональний всім елементам системи {ϕ_n}, то всі його коефіцієнти Фур’є рівні нулю. Тоді з рівності Парсеваля одержимо (f,f)= Обернено, нехай система {ϕ_n} не повна. Тоді в R існує такий елемент g≠0, що (g,g)˃ (де с_k=(g,ϕ_k)) .На основі теоремі Рісса-Фішера існує такий елемент fЄR, що (f,ϕ_k)=c_k і (f,f)= . Елемент (f-g) – ортогональний всім ϕ_і . З нерівності (f,f)= витікає , що (f-g) ≠0.

21. Лінійні оператори. Означення та приклади (не включаючи оператора диференціювання). Нехай Е і Е₁ два лінійні простори. Лінійним оператором, що діє з Е в Е_1, називається відображення у=Ах (хєЕ, уєЕ₁), що задовольняє умові А(αх₁+βх₂)= Аαх₁+Аβх₂. Сукупність D_A всіх таких хєА, для яких відображення А визначене, називається областю визначення оператора А. Оператор А називається неперервним в точці х₀ є D_A , якщо для будь-якого околу V точки y₀ =Ax₀ існує такий окіл U точки х₀, що АхЄV, як тільки хє UᴖD. Оператор А називається неперервним, якщо він неперервний в кожній точці х є D_A. Множина тих хєЕ, для яких Ах=0, називається ядром лінійного оператора А і позначається Кеr A. Множина тих уєЕ₁, для яких у=Ах, при деякому х є D_A , називається образом лінійного оператора А і позначається Im A. Ядро і образ лінійного оператора є лінійною многостатністю. приклади 1. Нехай Е – лінійний простір. Покладемо Іх=х для всіх хєЕ. Це одиничний оператор, що переводить будь-який елемент у себе. 2. Нехай Е і Е₁ довільні лінійні простори, і нехай Ох=х для всіх хєЕ (де О – це нульовий елемент простору Е₁), тоді О називається нульовим оператором. 3. Загальний вигляд лінійного оператора, що переводить скінченновимірний простір у скінченновимірний. Нехай А – лінійний оператор, відображаючий n-вимірний простір Rⁿ з базисом е₁, … ,е_n в m-вимірний простір R^m з базисом f₁,…,f_m. Якщо х – довільний вектор з Rⁿ , то х= і в силу лінійності оператора А Ах= . Таким чином, оператор А задано, якщо відомо, у що він переводить базисні вектори е₁,…,е. Розглянемо розклад векторів Ае₁ за базисом f₁,…,f_m . Маємо Ае_і= . Звідси видно, що оператор А визначається матрицею коефіцієнтів Rⁿ в R^m являє собою лінійний підпростір, розмірність якого рівна, очевидно, рангу матриці , тобто, в усякому випадку, не більше за n. Всякий лінійний оператор, що задано в скінченновимірному просторі – неперервний. 4. Розглянемо гільбертів простір Н і в ньому деякий підпростір Н₁. Розклавши Н в пряму суму підпростору Н₁ і його ортогонального доповнення, тобто подавши кожен елемент hєН у вигляді h=h₁+h₂ (h₁єН₁, h₂ H₁), покладемо Рh=h₁ . Це оператор ортогонального проектування або ортопроектор Н на Н₁. Він лінійний і неперервний. 5. Розглянемо в просторі неперервних функцій на відрізку [a,b] оператор, що визначається формулою ψ(s)= , де – деяка фіксована неперервна функція двох змінних. Функція ψ(s) для будь-якої неперервної функції така, що оператор (5) дійсно переводить простір неперервних функцій у себе, він лінійний. 6. У просторі неперервних функцій розглянемо оператор ψ(t)=ϕ₀(t)ϕ(t), де ϕ₀(t) – фіксована функція. Він лінійний і неперервний.