25. Норма оператора.

Пусть Е и - норм. пространства, А: Е , А-огранич., лин.

Наименьшая из констант С удовлетворяющая неравенство

Теорема. Для любого ограниченного оператора А А: Е , Е и - норм.,

Доказательство. , тогда так как

(1)

Из (1) и (2) .

26. Простори операторів.

Пусть А и В – линейные операторы, Е, - линейные пространства

А: Е , В: Е .

Суммой А+В называется оператор С=А+В, ставящий элементу х є Е элемент у є .

1)А и В – линейные операторы А+В – лин.

2) Е, - метрические пространства А, В-непр., то А+В-непр.

Рассмотрим пр. тогда непр. в , в силу произвольности -непр.

3) Если А и В – огранич., то А+В – огранич.

Произведение. А: Е+ , В: Е+ . Произведением ВА называется оператор С=ВА, ставящий х є Е, z є z=В(Ах), т.е. (ВА)х=В(Ах).

А,В-лин., то ВА-лин. Е -непр., АВ-непр. ВА-непр. А,В-огр., ВА-огр.

Произведение м линейного оператора А на число К называется оператор КА, котрый ставит в соответствие элемент .

Совокупность (Е, ) (L(E, )) всех лин. непр. операторов, определенных на всем пространстве Е и отображающих Е в (где Е, -фикс.лин.метр.простр.) образует по отношению к сложению и умножению на число лин.простр.

27.Обернений оператор. Оберненість.

Пусть оператор А действующий из Е в Е1, D(A) – область определения оператора, ImA – образ оператора.

Оператор А называется обратимым, если для любого y из ImA уравнение Ax=y имеет единственное решение.

Если оператор А обратим, то каждому y из ImA можно поставить в соответствие единственный элемент x из D(A) такой, что Ax=y и оператор осуществляющий это соответствие называется обратным к оператору и обозначается A^-1, т.е. A^-1y=x.

Теорема Оератор A^-1 обратимый к линейному оператору А тоже линейный.

Доказательство 1.DA^-1=ImA – линейное многообразие? 2.Для любого y1, y2 из ImA=> αy1+βy2 из ImA?

Рассмотрим у1, у2 из ImA, тогда существует х1, х2 из D(A): Ax1=y1, Ax2=y2.

D(A) – линейное многообразие => αx1+βx2 є D(A) , у3=А(αx1+βx2) є ImA.

A(αx1+βx2)= αAx1+βAx2= αy1+βy2=> DA^-1=ImA – линейное многообразие.

Линейность Т.к. у1,у2 є ImA => y1=Ax1, y2=Ax2 (существует х1,х2 є DA).

αAx1+βAx2= αy1+βу2 => αx1+βx2= A^-1(αy1+βy2). C другой стороны αx1+βx2= α A^-1у1+β A^-1 у2. Из вышенаписанного следует: A^-1(αу1+βу2)= α A^-1у1+β A^-1 у2 , у1,у2 є ImA для любого α и β.

Теорема Банаха об обратном операторе

Пусть А – линейный ограниченный оператор взаимно однозначно отображающий Банахово пространство Е на Е1, то обратный оператор A^-1 – тоже ограничен.

28 Теорема про оператор .

Пусть – банахово пространство, – тождественный оператор в , а – такой ограниченный линейный оператор, отображающий в себя, что . Тогда оператор существует, ограничен и представляется в виде .

Доказательство.

Существование и ограниченность оператора вытекает из следующих рассуждений: т.к. , то . Пространство полно, поэтому из сходимости ряда вытекает, что сумма ряда представляет собой ограниченный линейный оператор.

Для любого n имеем

Переходя к пределу при и учитывая, что , получаем

Откуда

Что и требовалось доказать.

29.Лінійні функціонали. Означення. Норми. Приклади.

Оператор f переводящий данное линейное пространство Е в числовую прямую называется функционалом. f называется однородным если f(αx)=αf(x) для любого х є Е, для любого α.

f называется аддитивным , если: f(x+y)=f(x)+f(y) для любого х, у из Е.

Аддитивный и однородный функционал называется линейным. Функционал называется линейным, если f(αx+βy)=αf(x)+βf(y) для любого х,у из Е и α,β.

Т.к. функционал – это частный случай оператора, то на функционалы распространяются все утверждения и теоремы, которые были получены для оператора.

Пусть Е – это нормированное пространство, тогда справедлива теорема:

Для того, чтобы линейный функционал определённый на линейном нормированном пр-ве Е был непрерывным необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен, т.е. существовала такая const M, чтобы: |f(x)|≤M*||x|| (1), для любого х из Е.

Наименьшая из констант М, удовлетворяющая неравенству (1) называется нормой функционала - ||f||. Для нормы справедливы следующие равенства: ||f|| = sup |f(x)|/||x|| (под sup x≠0) = sup |f(x)| (под sup ||x||≤1)

Примеры линейных функционалов в нормированных пространствах:

1. Пусть Е – это Rⁿ – арифметическое эвклидово пространство и a – фиксированный вектор в Rⁿ, тогда f(x)=(х, а) – скалярное произведение х на а для любого х из Rⁿ. Этот f является линейным, линейность следует из свойств

|f(x)|≤||x||*||a|| => |f(x)|/||x||≤||a||, x≠0 => ||f(x)||=sup |f(x)|/||x||≤a => ||f||≤||a|| (1)

Пусть х=а, тогда f(a)=(a,a)=||a||² =>||f||≥||a|| (2). Из (1) и (2) следует ||f||=||a||.

2. Расмотрим пр-во С[a,b] – пр-во непрерывных функций и определим функционал I(x) = Этот функционал является линейным и ограниченным.

Покажем это:

3.С[a,b] y₀(t)=фиксированная непрерывная функция. . Этот F(x) – линейный. Проверим, ограниченный ли он

4. С[a,b] функционал

δ(t) – функция Диракса, которая равна всюду, кроме т. t=0

5. Любое Эвклидово пространство

Х – эвклидово пространство, а є Х. F(x) = (x,a) – линейный ограниченный функционал, а значит непрерывный ||F||=||a||. Доказательство аналогично перовму!