36. Спряжені оператори. Приклади.

Спряжений оператор

Розглянемо неперервний лінійний оператор , який відображає в . Нехай , тобто лінійний неперервний функціонал, який діє на . Застосуємо до елемента . Тоді є лінійним неперервним функціоналом на . Позначимо його через . Таким чином . Отже виходить, що кожному поставлено у відповідність функціонал , тобто отримано деякий оператор, який відображає і . Цей оператор називається спряженим до оператора і позначається .

Позначимо значення функціоналу на елементі символом , а значення на – . Тоді одержимо або, оскільки , маємо

. (5.4)

У випадку гільбертового простору будь-який функціонал має вид (теорема 4.2)), де за мають на увазі скалярний добуток. Тому рівняння (5.4) для гільбертового простору може слугувати визначаючим для опера- тора .

Розглянемо скінченновимірний випадок із прикладу 5.3, де описується матрицею, транспонованою до матриці .

Справедливі наступні властивості:

1) оператор лінійний;

2) ;

3) .

Припустимо, що і є гільбертовим простором, тоді

4) .

Теорема 5.8. Нехай і – банахові простори. Тоді

.

Лема 5.1. (про анулятор ядра оператора). Нехай – лінійний неперервний оператор, який відображає на , і – банахові простори. Тоді

^ .

Нехай є гільбертовим простором. Обмежений оператор , який діє в , називається самоспряженим, якщо , тобто

, .

Приклад:

Спряжений оператор у скінченновимірному просторі. Нехай дійсний n-вимірний простір відображається в простір (m-вимірний) оператором А, і нехай — матриця цього оператора.

Відображення у=Ах можна записати у вигляді системи рівностей

i=1,2,…,m, а функціонал f(x) – у вигляді .

З рівності одержемо, що .

Через те що f=A⃰g, то оператор А⃰ задано матрицею, яка транспонована відносно матриці оператора А.

1) оператор лінійний;

2) ;

3) Якщо К – число, то (кА)⃰ = кА⃰.

Якщо А - неперервний оператор з Е в , то А⃰ є неперервний оператор з в (перевірити). Якщо Е і - банахові простори, то це твердження можна уточнити.

37. Властивості спряжених операторів

Справедливі наступні властивості:

1) оператор лінійний;

2) ;

3) .

Припустимо, що і є гільбертовим простором, тоді

4) .

38. Спектр оператора в скінчено вимірному просторі.

Нехай – лінійний оператор у -вимірному просторі або . Число із або відповідно із називається власним значенням (числом) оператора , якщо рівняння має ненульовий розв’язок. Сукупність усіх власних значень називається спектром оператора , а решта всіх значень – регулярними. Іншими словами, є регулярним значенням, якщо оператор оборотний. При цьому оператор визначений на всьому просторі або та, як і будь-який оператор у скінченнови-мірному просторі, обмежений. Отже, у скінченновимірному випадку існує дві можливості:

1) рівняння має ненульовий розв’язок, тобто є власним значенням для ; оператор при цьому не існує;

2) існує обмежений оператор , визначений на всьому просторі, тобто є регулярною точкою.