5. Миноры, алгебраические дополнения.

Минором(М_ij) элемента a_ij называется определитель, который получается из определителя матрицы А путем вычеркивания i-той стоки и j-того столбца

Алгебраическим дополнением  А_ij  элемента а_ij матрицы  n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

6. Определители n-го порядка.

Определителем n-го порядка называется число, которое может быть вычислено по формуле

,

7. Методы вычисления определителей.

три способа вычисления определителя:

1. через сумму произведений сочетаний элементов матрицы

Перестановкой порядка n называется упорядоченный набор чисел, состоящий из n элементов. Для множества, содержащего n элементов, существует n! (n факториал) перестановок порядка n. Перестановки отличаются друг от друга лишь порядком следования элементов.

2. через разложение определителя по элементам строки или столбца матрицы;

Инверсией в перестановке порядка n называется всякая пара индексов p и q, для которой p-ыйэлемент перестановки больше q-ого.

3. методом приведения матрицы к верхней треугольной (методом Гаусса).

8. Обратная матрица.

Матрицы А и В называются взаимообратными, если выполняется равенство

А * В = В * А = Е

А^-1- взаимообратная матрица

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Обратная матрица вычисляется по формуле:

где А _{i j} - алгебраические дополнения элементов a _{i j} матрицы A..

Составим алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием равенства  .

1. Вычисляем определитель матрицы А и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима).

2. Строим   - матрицу из алгебраических дополнений элементов  .

3. Транспонируем матрицу  , тем самым получаем  .

4. Умножаем каждый элемент матрицы   на число  . Этой операцией завершается нахождение обратной матрицы  .

5. Проводим проверку результата, вычисляя произведения   и  . Если  , то обратная матрица найдена верно, в противном случае где-то была допущена ошибка.

9. Метод Жордана вычисления обратной матрицы.

метод Гаусса - Жордана. Суть метода заключается в том, что если с единичной матрицей Е провести элементарные преобразованиия, которыми невырожденная квадратная матрица А приводится к Е, то получится обратная матрица  .

10. Ранг матрицы.

Ранг Матрицы – максимальный порядок отличного от нуля минора.

Обозначается как rang A = r(A)

Существует несколько способов найти ранг матрицы преобразование матрицы методом Гаусса и подсчёт числа ненулевых строк. Так вот, ранг и будет равен этому числу ненулевых строк. 

11. Система линейных алгебраических уравнений. Основные понятия и определения.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь

•  — количество уравнений

•    — количество неизвестных.

• x₁, x₂, …, x_n — неизвестные,

• a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы

• b₁, b₂, … b_m — свободные члены

Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j)

Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной).

Система называется

•  однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

• называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

•  совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

• называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой

Коэффициенты при неизвестных записываются в виде матриц

<- матрица системы

b₁,…,b_m - свободные члены

Совокупность n чисел c₁,…,c_{n -} решение данной системы

Основные методы решения систем

• Метод Гаусса

• Метод Крамера

• Матричный метод