26. Собственные векторы и собственные значения.

Ненулевой вектор p называется собственным вектором квадратной матрицы A , если линейное преобразование с матрицей A переводит вектор p в коллинеарный ему вектор λ * p. Число λ называется собственным числом (характеристическим числом, собственным значением) матрицы A , соответствующим собственному вектору p.

????

27. Квадратичные формы. Определение, канонический вид, ранг.

Квадратичной формой F , зависящей от n переменных x₁,x₂, … ,x_n называется функция вида

F = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 + … + ann xn2   =    n aij xi xj ∑ i, j = 1   ,

где a_ij = a_ji (i,j = 1, … ,n) — вещественные числа.

Симметричная матрица A = (a_ij) (i,j = 1, … ,n) называется матрицей квадратичной формы F .

Базис, в котором квадратичная форма F имеет вид

F = i= 1n∑ λi (xi')2

(1)

называется каноническим базисом, а выражение (1) — каноническим видом квадратичной формы.

Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора.

Обозначается rang A = r (A)

28. Знакоопределенность квадратичной формы. Критерии.

Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (или строго положительной), если j(х) > 0, для любого х = (х₁, х₂, …, x_n), кроме х = (0, 0, …, 0).

Матрица А положительно определенной квадратичной формы j(х) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот.

Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если j(х) < 0, для любого х = (х₁, х₂, …, x_n), кроме х = (0, 0, …, 0).

Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квадратичной формы также называется отрицательно определенной.

Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма j(х) достигает минимального (максимального) значения j(х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).

Отметим, что большая часть квадратичных форм не является знакоопределенными, то есть они не являются ни положительными, ни отрицательными.

Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)

Для того чтобы квадратичная форма j (х) = х^ТАх была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть:

М₁ > 0, M₂ > 0, …, M_n > 0.

Критерий отрицательной определенности

Для того чтобы квадратичная форма j (х) = х^ТАх была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, то есть:

М₁ < 0, M₂ > 0, М₃ < 0, …, (–1)ⁿ M_n > 0.

29. Уравнения линии на плоскости.

Уравнение линии на плоскости — это уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Если точка передвигается по линии, то ее координаты, изменяясь, удовлетворяют уравнению этой линии. Поэтому координаты называются текущими координатами. Чтобы убедится, лежит ли точка на данной линии, надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению. Уравнения линии могут быть самыми различными, но не каждое уравнение имеет геометрический образ в виде линии.

Примеры:

1. Уравнение окружности: (x — x_о)² + (y — y_о)² = r²

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: y = k·x + b

Взаимное расположение двух линий

Для того чтобы определить взаимное расположение двух линий, надо знать уравнения этих линий. Если система этих уравнений имеет решения, то линии имеют общие точки. В противном случае общих точек нет. Число общих точек равно числу решений системы уравнений

30. Различные виды уравнений прямой линии на плоскости.

. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:

1⁰. Общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0.                                                          (2.1)

Вектор n(А,В) ортогонален прямой, числа A и B одновременно не равны нулю.

2⁰. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y - y_o = k (x - x_o),                                                          (2.2)

где k - угловой коэффициент прямой, то есть k = tg a, где a - величина угла, образованного прямой с осью Оx, M (x_o, y_o ) - некоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение (2.2) принимает вид y = kx + b, если M (0, b) есть точка пересечения прямой с осью Оy.

3⁰. Уравнение прямой в отрезках

x/a + y/b = 1,                                                       (2.3)

где a и b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4⁰. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки -  A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂ ):

.                                                       (2.4)

5⁰. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x₁, y₁) параллельно данному вектору a(m, n)

.                                                       (2.5)

6⁰. Нормальное уравнение прямой

rn^о - р = 0,                                                             (2.6)

где r - радиус-вектор произвольной точки M(x, y) этой прямой, n^о - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; р - расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

x cos a + y sin a - р = 0,

31. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.                                       

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде A₁x + B₁y + C₁ = 0,      (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (9)

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     (10)

Это условие может быть записано также в виде

k₁k₂ = -1.     (11)

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.     (12)