20. Размерность и базис векторного пространства.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

• Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномерным.

• Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, называется бесконечномерным.

Совокупность n линейно независимых векторов n- мерного векторного пространства   называется его базисом.

21. Переход к новому базису в векторном пространстве.

Переход от одного базиса к другому

Пусть   —  -мерное векторное пространство над полем   с некоторыми базисами   и  .

Векторы одного базиса можно выразить через векторы другого:

.

Матрица, определенная коэффициентами вышеприведенного разложения

,

называется матрицей перехода⁷⁾ от базиса   к базису  .

Замечание 1. Координаты вектора   относительно базиса   образуют  -й столбец матрицы  .

22. Евклидово пространство.

ЕВКЛИДОВО пространство - пространство, свойства которого изучаются в евклидовой геометрии. В более широком понимании евклидовым пространством называется n-мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение.

22. Базисы в евклидовом пространстве.

Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.

Ортонормированный базис удовлетворяет еще и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ( ), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

22. Линейные операторы. Определения, операции.

Лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции  ) на случай более общего множества аргументов и значений

Операции над линейными операторами

Пусть линейный оператор 

 множество линейных операторов действующих из   в   является линейным пространством.

Пусть 

; 

Свойства:

• Если   - линейный оператор и   - непрерывен в точке  , то   - непрерывен в 

Доказательство.  , возьмем некоторую 

• Оператор   - непрерывен (то есть непрерывен во всех точках  )     непрерывен в нуле.

22. Зависимость между матрицами линейного оператора при переходе в другой базис.

Линейный оператор и его матрица. Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n  и пусть e₁,  e₂, ..., e_n - базис в X. Обозначим через A e₁ = (a₁₁,...,a_n1), ... , A e_n = (a_1n,...,a_nn) образы базисных векторов e₁,  e₂, ..., e_n .

Матрица

столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно   каждая  квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения

9. с одной стороны, связывают координаты образа y = A x с координатами прообраза X, с другой стороны,  описывают действие оператора, заданного матрицей A.

10. При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e = {e₁, ... , e_n}  к базису e' = {e'₁, ... , e'_n} . Связь между матрицей A_e  оператора A в базисе e  и матрицей A_e'  этого оператора в базисе e' задается формулой 

11. 

12. Здесь    -  матрица перехода от базиса e к базису  e' и обратная к ней.