Экстремум функции нескольких аргументов.

Если в некоторой окрестности точки (x₀,y₀) выполняется условие f(x,y)<f(x₀,y₀), то (x₀,y₀) называется точкой максимума, а если f(x,y)>f(x₀,y₀), то (x₀,y₀) называется точкой минимума. Максимум и минимум называются экстремумами.

Необходимые условия экстремума:

38.

Достаточные условия экстремума:

Обозначим A = f_xx(x₀,y₀), B = f_xy(x₀,y₀), C = f_yy(x₀,y₀).

Если B² -4AC<0, то в точке (x₀,y₀) минимум при A>0 и максимум при A<0.

Если B² -4AC>0, то в точке (x₀,y₀) экстремума нет.

39.

Уравнение вида y=f(x)g(y) называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно решается так: умножим обе части на dx, разделим на g(y) и проинтегрируем. При этом если g(y₀)=0, то y=y₀ тоже является решением.

40.

Уравнение вида называется однородным уравнением. Замена неизвестной по формуле y=zx приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

41.

Уравнение вида y+f(x)y=g(x) называется линейным уравнением. Для его решения делаем замену y=uv. Получим uv+uv+f(x)uv=g(x); uv+u(v+f(x)v)=g(x); v+f(x)v=0; найдём какое-нибудь v и подставим в предыдущее равенство: uv=g(x); найдя отсюда u и подставив в y получим ответ.

42.

Уравнение вида y = xy+f(y) называется уравнением Клеро. Общее решение уравнения Клеро имеет вид y = xC+f(C). Особое решение уравнения Клеро имеет вид: , где p - параметр.

43.

Уравнение ay+by+cy=0 называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составим уравнение a² + b + c = 0. Пусть его корни ₁ и ₂. Тогда возможны три случая:

1) ₁ и ₂ действительны и различны 

2) ₁ = ₂ =  y=C₁e^x+C₂e^x

3) ₁ и ₂ комплексные _1,2 = i  y=e^x(C₁cos(x) +C₂sin(x))

45.

Основные приближённые методы решения уравнений: метод итераций, метод деления пополам, метод хорд и метод касательных. Метод хорд и метод касательных обычно применяются совместно.

46.

41. Интегрирование линейного дифференциального уравнения первого порядка.

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:

• Использование интегрирующего множителя;

Использование интегрирующего множителя

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

то интегрирующий множитель определяется формулой:

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x).  Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде:

где C − произвольная постоянная.

Пример 1

Решить уравнение  y' − y − xex = 0. Решение. Запишем данное уравнение в стандартной форме:        Будем решать это уравнение, используя интегрирующий множитель:        Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения определяется выражением:

42. Интегрирование дифференциального уравнения Клеро.

Уравнение Клеро

Уравнение Клеро имеет вид:

где ψ(y') − некоторая нелинейная дифференцируемая функция. Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа, когда φ(y') = y'. Оно решается аналогичным образом с помощью введения параметра. Общее решение определяется выражением

в котором C − произвольная постоянная.  Также как и уравнение Лагранжа, уравнение Клеро может иметь особое решение, которое выражает в параметрической форме:

где p − параметр. 

43. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты.  Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа. 

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:

44. Приближённое интегрирование.

Если для подынтегральной функции f(x) известно или можно получить аналитическое выражение для ее первообразной F(x), то вычисление определенного интеграла производится по соотношению

где

Часть на практике невозможно получить аналитическое выражение F(x) из-за сложности подынтегральной функции f(x). В технических задачах f(x) может быть задана таблично, тогда понятие первообразной вообще теряет смысл. В этих случаях определенный интеграл приближенно оценивается численными методами. Типовой подход к решению задачи заключается в замене исходной подынтегральной функции f(x)другой функцией j (x), для которой проще вычислить первообразную. Таким образом, приближенно полагается

45. Приближенное решение уравнений.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Действительные корни уравнения f(x)=0 (как алгебраического, так и трансцендентного) можно приближенно найти графически или посредством отделения корней. Для графического решения уравнения f(x)=0 строят график функции у=f(x); абсциссы точек пересечения и точек касания графика с осью абсцисс являются корнями уравнения. Метод отделения корней состоит в том, что находят таких два числа a и b, при которых функция f(x), предполагаемая непрерывной, имеет различные знаки - в этом случае между а и b заключен, по крайней мере, один корень; если производная f'(x) сохраняет знак в интервале от а до b, значит, f(x) - монотонная функция, то этот корень единственный (рис. 1).

Рисунок 1.

Более совершенными приемами, позволяющими найти корень с любой точностью, являются следующие. Пусть найдены такие два значения аргумента х=а, x=b (а

По способу хорд: значение корня х₁ уравнения f(х) = 0 в интервале [а, b] в первом приближении находится по формуле

Затем выбирается тот из интервалов [a, х₁], [x₁, b], на концах которого значения f(x) имеют различные знаки и находится корень х₂ во втором приближении по той же формуле, но с заменой числа х₁ на х₂, а числа b или а на x₁ (в зависимости от того, взят ли интервал [a, x₁] или [х₁, b]). Аналогично находятся последующие приближения (рис. 2).

Рисунок 2.

По способу касательных (или способу Ньютона) рассматривают тот из концов интервала [а, b], где f(x) и f''(х) имеют одинаковые знаки (рис. 3).

Рисунок 3.

В зависимости от того, выполняется ли это условие на конце х=а или на конце х=b, значение корня x₁ в первом приближении определяется по одной из формул

Затем рассматривается интервал [x₁, b] (если была использована первая из указанных формул) или [a, x₁] (если была использована вторая формула) и аналогичным путем находится значение корня x₂ по второму приближению и т. д.

Совместное применение способа хорд и способа касательных заключается в следующем. Устанавливают, на каком конце интервала [а, b] величины f(x) и f"(x) имеют одинаковые знаки. Для этого конца интервала применяют соответственно одну из формул способа касательных, получая значение x₁. Применяя для одного из интервалов [a, x₁], [x₁, b] формулу по способу хорд, получают значение x₂. Затем таким же образом проводят вычисления для интервала [x₁, x₂] и т. д.

Пример 1: y=f(х)=х³+2х-6=0. Путем проб находим 1,4<х< 1,5. Определяем корень по способу хорд: a=1,4; f(a)=-0,456; b=1,5; f(b)=0,375. Первое приближение:

Повторяем операцию, заменяя значения а, f(a) на x₁=1,455; f(x₁)=-0,010.

Второе приближение:

46. Основные понятия теории вероятностей.

Основные понятия теории вероятностей

 

Задача теории вероятностей - математическое исследование закономерностей массовых случайных событий.

 

Обратите внимание! Рассматриваются стохастические эксперименты, которые можно повторить любое количество раз, но результаты нельзя точно предсказать.

 

Проводится n экспериментов при одинаковых обстоятельствах. Событие А произошло k раз, тогда не состоялась n - k раз. Число k называется частотой события А, а отношение k / n - относительная частота события А.

 

При большом количестве экспериментов относительная частота приближается к числу, которое называется вероятностью события А

 

Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, произошедших к общему числу событий пространства элементарных событий.

 

Вероятность всегда больше нуля, но меньше единицы.

 

Суммой событий А и В называется событие, при которой из событий А и В произойдет хотя бы одна.

 

Пример. Пусть событие А такая, что при подбрасывании двух монет обе падают на одну сторону. Пусть В - такое событие, когда первая монета падает решкой. Тогда событие сумма означает, что результатом подбрасывания монет будут:

 

орел, орел

 

решка, решка

 

решка, орел

 

и не будет: орел, решка.

 

Для любых событий оправдывается:

 

Сумма двух одинаковых событий равна самом событии;

 

Сумма события А и В равна сумме событий В и А;

 

Чтобы к сумме двух событий добавить третье событие, нельзя первого события прибавить сумму второго и третьего событий.

 

Разницей событий А и В называется такое событие, при которой событие А произойдет, а событие В не произойдет.

 

Произведением событий называется событие, при которой из событий А и В пройдут оба события А и В.

 

Обратите внимание! Независимыми называются события такие, что вероятность того, что произойдет одно событие, не зависит от того, состоялась другая или нет.

 

Статистической вероятностью события А называется число р, вокруг которого сосредотачиваются значение статистической частоты осуществления события А при увеличении числа экспериментов.

 

Теорема. Если в серии экспериментов вероятность некоторого события остается для каждого эксперимента постоянной, то с достоверностью можно утверждать, что при достаточно большом количестве экспериментов статистическая частота этого события будет отличаться сколь угодно мало от ее вероятности.

47. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий   равна сумме вероятностей этих событий

(2.1)

Доказательство. Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий   и  .

Пусть событию   благоприятствуют   элементарных исходов, а событию   исходов. Так как события   и   по условию теоремы несовместны, то событию   благоприятствуют   элементарных исходов из общего числа n исходов. Следовательно,

,

где   — вероятность события  ;   — вероятность события  .

Пример. Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины:  . Тогда вероятность поступления к складу хотя бы одной из этих машин будет

P(А₁+А₂) = 0,2 + 0,4 = 0,6.