Теорема умножения вероятностей

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B). (2.2)

Доказательство. Предположим, что из   всевозможных элементарных исходов событию   благоприятствуют   исходов, из которых   исходов благоприятствуют событию  . Тогда вероятность события   будет  , условная вероятность события   относительно события   будет  .

Произведению событий   и   благоприятствуют только те исходы, которые благоприятствуют и событию   и событию  одновременно, т.е.   исходов. Поэтому вероятность произведения событий   и  равна

.

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на  . Получим

.

Аналогично доказывается и формула

.

Пример. На склад поступило 35 холодильников. Известно, что 5 холодильников с дефектами, но неизвестно, какие это холодильники. Найти вероятность того, что два взятых наугад холодильника будут с дефектами.

Решение. Вероятность того, что первый выбранный холодильник будет с дефектом, находится как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов

P(A) = 5/35 = 1/7.

Но после того, как был взят первый холодильник с дефектом, условная вероятность того, что и второй будет с дефектом, определяется на основе соотношения

Искомая вероятность будет

.

Если при наступлении события   вероятность события   не меняется, то события   и   называются независимыми.

В случае независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий

P(AB) = P(A)×P(B). (2.3)

Теорема умножения вероятностей легко обобщается на любое конечное число событий.

Теорема. Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих событий, т.е.

P(ABC....LM) = P(A)×P(B/A)×P(C/AB) P(M/AB...L). (2.4)

Для доказательства этой теоремы можно использовать метод математической индукции.

48. Дискретные случайные величины.

1. Дискретная случайная величина, закон и функция распределения

Дискретной называют случайную величину, значения которой изменяются не плавно, а скачками, т.е. могут принимать только некоторые заранее определённые значения. Например, денежный выигрыш в какой-нибудь лотерее, или количество очков при бросании игральной кости, или число появления события при нескольких испытаниях. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счётным множеством) Для сравнения - непрерывная случайная величина может принимать любые значения из некоторого числового промежутка: например, температура воздуха в определённый день, вес ребёнка в каком-либо возрасте, и т.д.

Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой перечень всех её возможных значений и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей Σp_i = 1. Закон распределения также может быть задан аналитически (формулой) и графически (многоугольником распределения, соединяющим точки (x_i; p_i)

Функция распределения случайной величины - это вероятность того, что случайная величина (назовём её ξ) примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x: F(X) = P(ξ < X). Для дискретной случайной величины функция распределения вычисляется для каждого значения как сумма вероятностей, соответствующих всем предшествующим значениям случайной величины. Ниже будет приведён пример, разъясняющий смысл сказанного.