17. Мощность, рассеивающаяся в цепи переменного тока. Эффективные (действующие) значения переменного тока и напряжения.
Мощность, выделяющаяся в цепи переменного тока:
Аналогично 6.3
Из векторной диаграммы
поэтому
где
– действующее (эффективное) значение
силы тока (то есть значение силы
постоянного тока, для которого в цепи
выделяется та же мощность). Аналогично
вводится действующее значение
напряжения
Выражения для действующих значений
силы тока и напряжения, очевидно, не
зависят от формы цепи и определяются
характером колебаний напряжения.
20. Классическое дифференциальное волновое уравнение. Уравнения плоской и сферической гармонических волн
18. Уравнения плоской и сферической гармонических волн. Продольные и поперечные волны. Учёт поглощения волн
1) Классическое дифференциальное волновое уравнение:
Волна – распространяющееся в среде возмущение.
Простейшей моделью
волны является система большого числа
связанных осцилляторов. Пусть массы
всех осцилляторов одинаковы и равны m,
все они связаны одинаковыми пружинами
жёсткости k, а расстояние
между соседними осцилляторами в положении
равновесия равно l.
Тогда для любого осциллятора можно
записать второй закон Ньютона:
Переходя к непрерывной среде, устремим
число осцилляторов к бесконечности, а
l – к нулю и получим
гладкую функцию (x,
t). Пусть x
– координата n-го
осциллятора; тогда, разложив
в ряд Тейлора, а также считая, что в
процессе колебаний расстояние между
соседними осцилляторами изменяется
мало, получим:
Подставим данные выражения в
дифференциальное уравнение второго
закона Ньютона:
– классическое дифференциальное
волновое уравнение для одномерного
случая, где v –
коэффициент, имеющий размерность
скорости. Пусть V –
скорость распространения волны (то есть
скорость распространения возмущений);
тогда, считая колебания в начале координат
гармоническими без начальной фазы:
получим, что
где – время
распространения волны в точку с
координатой x; k
– волновое число:
– длина волны;
расстояние, на которое распространяется
волна за один период колебаний. Подставив
функцию в
волновое уравнение, можно убедиться,
что она удовлетворяет этому уравнению,
причём константа v
= V. Таким образом,
константа в волновом уравнении имеет
смысл скорости распространения волны,
называемой фазовой скоростью.
Условия применимости классического волнового уравнения: малые возмущения среды, среда является недиспергирующей (то есть скорости распространения волн разных частот одинаковы). Второе требование связано с тем, что уравнению, очевидно, должны удовлетворять гармонические функции разных частот, а это, в свою очередь, позволяет распространить уравнение на любые периодические функции, удовлетворяющие условию Дини и представимые в виде суммы своего ряда Фурье.
Для трёхмерного
случая волновое уравнение запишется
как
где
– оператор Лапласа.
2) Уравнения плоской и сферической волн:
Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе.
Фронт волны – передняя волновая поверхность.
В
олны
можно классифицировать по виду их
волновых поверхностей: плоские,
сферические, цилиндрические и др.
Волну можно
рассматривать, как плоскую, если размеры
источника много больше расстояния до
него;
– уравнение плоской волны (энергия
колеблющихся частиц не зависит от
расстояния до источника, поскольку в
каждой плоскости все частицы колеблются
синфазно). Возможно рассмотрение плоской
волны в полярной системе координат:
– волновой вектор (вектор,
перпендикулярный к фронту волны и
направленный в сторону её распространения);
поэтому уравнение можно записать как
В сферической
волне (всякую волну можно считать
сферической, если расстояние до источника
много больше его размеров) энергия
колеблющейся частицы обратно
пропорциональная площади соответствующей
ей волновой поверхности, то есть
энергия пропорциональна квадрату
амплитуды (см. 1.3), поэтому
– уравнение сферической волны.
3) Учёт затухания волн:
Затухание волн
учитывается с помощью дополнительного
экспоненциального множителя (как и в
случае затухающих колебаний – см. 5.1):
для плоской волны и
для сферической.
4) Упругие волны:
Упругая волна – деформационные возмущения, распространяющиеся в упругой среде (то есть среде, деформации которой являются упругими – тело возвращается в прежнее состояние при снятии внешнего воздействия). Классическое волновое уравнение выведено для упругих волн, однако оно верно и для других случаев (например, электромагнитных волн – см. 10).
Упругие волны могут быть продольными (смещение частиц параллельно направлению распространения волны) и поперечными (смещение частиц перпендикулярно к направлению распространения волны).
Рассмотрим упругий
стержень с сечением S
и плотностью .
При его растяжении на l
возникает сила упругости
где – механическое
напряжение. По определению
– модуль упругости (модуль Юнга)
материала стержня. Тогда
поэтому скорость продольной (при выводе
рассматривались деформации растяжения
– сжатия) упругой волны
Аналогичная формула верна для поперечных
волн в твёрдом теле; в этом случае модуль
упругости заменяют на модуль сдвига G
(если – угол
сдвига, а
– напряжение сдвига (S
– площадь сдвигаемой грани), то
