6. Изобразить на координатной плоскости множества:

1) {(x,y)R² | 11x-7y=4}, 2) {(x,y) | 3x-5y=7, 2x-7y=1}, 3) {(x,y) | y=x² -5x+4},

4) {(x,y) | y>x² -5x+4}, 5) {(x,y) | x<y² -4y+3}, 6) {(x,y) | x² -5x+y² -4y=0},

7) {(x,y) | y² -x² =0}, 8) {(x,y) | }, 9) {(x,y) | },

10) {(x,y) | }, 11) {(x,y) | y² -y+1=x}, 12) {(x,y) | y= },

13) {(x,y) | x= }, 14) {(x,y) | }, 15) {(x,y) | y=log _x },

16) {(x,y) | log_x 2=log_y 2}, 17) {(x,y) | , xN}, 18) {(x,y) | 4^x +2^x -2=0}, 19) {(x,y) | sin² x-4sinx+3=0, yR}, 20) {(x,y) | yN, sinx+cosx=1}.

Великая книга природы написана языком математики.

Г. Галилей⁴

§6.2. Операции над множествами.

Введем операции над множествами и дадим наглядную иллюстрацию их с помощью кругов Эйлера, точки которых схематически изображают элементы множеств. Пусть А и В некоторые множества.

Множество АВ, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А или множеству В, или принадлежащих множествам А и В одновременно, называется объединением множеств А и В Очевидно, А=А, АА=А; если АВ, то АВ=В. Операция объединения множеств распространяется на любое число множеств. Объединением любого числа множеств считается множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из заданных множеств.

П усть А={xRx²-5x+6=0}, В={xR R}, С={xR }.Очевидно, что А={2,3}, В={0}, С=. Поэтому АВС={0,2,3}.

Множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно множеству А и множеству В, называется пересечением множеств А и В

Очевидно, что АА=А; если АВ, то АВ=А.

Операция пересечения множеств переносится на любое число множеств.

Пересечением любого числа множеств считается множество, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно каждому из заданных множеств.

Для рассмотренных выше множеств АВС=.Пересечение множеств Q и множества всех иррациональных чисел есть пустое множество, так как любое рациональное число не является иррациональным числом.

Р азностью множеств А и В называется множество А\В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.

Очевидно, А\А=; если ВА, то В\А=. Разность множества действительных и иррациональных чисел есть множество рациональных чисел Q.

Дополнением АЕ множества А до множества Е называется множество А^C, состоящее из всех элементов множества Е, не принадлежащих множеству А, то есть А^C=Е\ А.

Очевидно, АА^C=. Например, дополнением множества Q до множества R является множество всех иррациональных чисел.

Вопросы для самопроверки.

1. Что такое объединение множеств? Разность множеств?

2. Приведите примеры объединения множеств.

3. Что такое пересечение множеств?

4. Приведите примеры пересечения множеств.

5. Что такое дополнение к множеству?

6. Приведите примеры дополнения к множеству.

Упражнения.

1. Доказать, что А(ВС)=(АВ)(АС).

ешение. Пусть элемент х входит в левую часть равенства. Тогда хА или хВС. Если хА, то хАВ и хАС, следовательно, х принадлежит правой части доказываемого равенства. Если же хВС, то хВ и хС. Но тогда хАВ и хАС. Значит, и в этом случае х является элементом правой части. Обратно, пусть теперь х есть элемент правой части. Значит хАВ и хАС. Если хА, то хА(ВС). Если же х не принадлежит А, то хВ и хС. Значит, хВС, и опять х принадлежит левой части.

На левом рисунке множество АВ заштриховано горизонтальной штриховкой, а множество АС - вертикальной штриховкой. Множество (АВ)(АС) изображено квадратной штриховкой.

На правом рисунке множество ВС изображено горизонтальной штриховкой, а множество А - вертикальной штриховкой. Заштрихованная область дает множество А(ВС). Мы получили геометрическое доказательство, так как множество, заштрихованное на левом рисунке квадратной штриховкой, и множество, заштрихованное на правом рисунке, совпадают.

2. Доказать, что АВ=ВА (свойство коммутативности объединения множеств).

3. АВ=ВА (свойство коммутативности пересечения множеств). Доказать.

4. (АВ)С=А(ВС) (свойство ассоциативности объединения множеств). Доказать

5. Доказать, что (АВ)С=А(ВС)= АВС (свойство ассоциативности пересечения множеств).

6. Убедиться, что три соотношения АВ, АВ=А, АВ=В равносильны, то есть, что из выполнения любого из них вытекает справедливость остальных двух.

7. Верно ли равенство АВ=А\(A\B)?

8. (A\B)\C=A\(BC). Доказать.

9. Верно ли соотношение (A\B)(C\D)=(AC)\(BD)?

10. Доказать, что условие (AB)\B=A выполняется в том и только том случае, когда AB=.

11. (A\B) B=A  BA. Доказать.

12. Доказать, что операции  и  связаны законами дистрибутивности:

(AB) C=(AC) (BC), (AB) C=(AC) (BC),

13. Если AB, то AB=B?

14. A=A?

15. Если AB, AB=A?

16. Доказать, что A=B, если AB и BA.

17. Если AB и BC, то AC. Доказать.

18. Следует ли из AB=A соотношение AB?

19. Вытекает ли из A\B=С, что А=BC?

20. Вытекает ли из A=BC, что A\B=C?

21. Верно ли, что A\(BC)=(A\B)\C?

22. A (B\C)=(AB)\C?

23. (A\B) C=(AC)\B?

24. Найдите пересечение множества всех треугольников и множества всех равнобедренных треугольников.

25. Найдите пересечение множества всех параллелограммов с множеством всех четырехугольников с равными сторонами.

26. Найдите пересечение множества нечетных чисел и множества целых чисел, делящихся на 3. Конечно или бесконечно это множество?

Высшее назначение математики... состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает.

Н. Винер