§6.3. Модуль числа.

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа х называется само число х, если х0, и противоположное число -х, если х0. Модуль числа х обозначается х.

Согласно определению

(6.1)

Например, |3|=3, |0|=0, |-5|=-(-5)=5.

Геометрически модуль числа х есть расстояние от начала отсчета на числовой оси до точки М с координатой х.

М(х) М(-3) |-3|=3 |4|=4 M(4)

М одуль числа обладает следующими свойствами:

1 . |x| = |-x| ,

2. |-x|  х  |x|,

3. |x|  a  -a  x  a (a0) ,

4. Неравенство |x|  a (a0) равносильно двум неравенствам

х  а и х  -а,

|x|  a |x|  a

| | | | | | | | | | | | | | |  |  | | | | | | | | | | | | | | |

x  -a -a 0 a x  a

5. Модуль произведения равен произведению модулей

|xy| = |x||y| ,

6. ,модуль частного равен частному модулей,

7. Для любых действительных чисел х и у имеет место неравенство треугольника (сумма длин двух сторон треугольника не меньше третьей стороны )

|x+y|  |x| + |y|,

8. |x-y|  ||x|-|y|| (длина любой стороны треугольника не меньше по модулю разности длин двух других его сторон).

Доказательства свойств 1-6

вытекают непосредственно из определения модуля. Докажем свойства 7 и 8. На основании свойства 2 для любых чисел х и у имеем -|x|  х  |x|, -|y|  y  |y|. Складывая эти неравенства, находим, что (|x+y|)  х+у  |x| + |y|. По свойству 3 получаем неравенство 7. Пусть теперь х=(х-у)+у. Тогда |x|=|(x-y)+y|  |х-у|+y по формуле 7 , то есть |x-y|  |x|-|y|. C другой стороны |y|=|(y-x)+x|. По формуле 7 имеем |y|  |y-х|+x. Отсюда |x|-|y|  |y-x|. Значит,||x|-|y|||x-y|. Заметим, что величина |x-y| есть расстояние на числовой оси между точками М и Т с координатами х и у соответственно (независимо от их расположения).

М(х) |x-y| T(y)

  

x y 0

Из определения модуля вытекает, что

(6.2)

Вопросы для самопроверки.

1. Привести определение модуля действительного числа.

2. В чем заключается геометрический смысл модуля числа?

3. Запишите с помощью модуля расстояние между двумя точками М(3) и Т(-7) на числовой оси.

4. Опишите с помощью модуля множество точек числовой прямой, удаленных от точки на расстояние меньшее 2, большее 3, равное 1, меньшее или равное 2.

5. Для каких x, y верно равенство ?

6. При каких условиях выполняются равенства: ?

7. Докажите свойства 7, 8 модуля числа.

8. Дайте геометрическое истолкование неравенствам:

9. Перечислите свойства модуля.

10. К какой из точек и ближе точка ?

11. Сформулируйте и докажите свойства 1-6 модуля числа.

12. Верно ли, что ? Докажите.

13. Верно ли, что , если ?

14. Доказать, что

15. , докажите.

16. Что меньше: расстояние между точками -3 и 15 или между точками -30 и -49?

17. Найдите множество точек, расстояние от каждой из которых до точки -1 меньше 4 и больше 2.

18. Доказать, что

19. Верно ли, что ?