15. Постулати спеціальної теорії відносності. Перетворення Лоренца та висновки з них.

Спеціальна теорія відносності (СТВ) — фізична теорія, опублікована Альбертом Ейнштейном 1905 року. Не поширює дію своїх принципів на гравітаційні сили, тому в 1916 році Ейнштейн опублікував нову —загальну теорію відносності, яка пояснювала природу гравітації. В основу спеціальної теорії відносності (СТВ) А.Ейнштейном покладено два постулати:

* Перший постулат СТВ (принцип відносності): усі закони природи однакові у всіх інерціальних системах відліку. Цей постулат є поширенням принципу відносності Галілея на усі фізичні явища.

* Другий постулат СТВ (принцип інваріантності швидкості світла): швидкість світла у вакуумі однакова у всіх інерціальних системах відліку і не залежить від швидкостей руху як джерел, так і приймачів світла.

Перетворення Лоренца можуть бути отримані абстрактно, з групових міркувань (в цьому випадку вони виходять з невизначеним   ), Як узагальнення перетворень Галілея. Проте вперше вони були отримані як перетворення, щодо яких коваріантного рівняння Максвелла (тобто по суті - які не змінюють виду законів електродинаміки і оптики при переході до іншої системи відліку). Можуть також бути отримані з припущення лінійності перетворень і постулату однаковості швидкості світла у всіх системах відліку (що є спрощеною формулюванням вимоги ковариантности електродинаміки щодо шуканих перетворень, і поширенням принципу рівноправності інерційних систем відліку - принципу відносності - на електродинаміку), як це робиться в спеціальної теорії відносності (СТО) (при цьому   в перетвореннях Лоренца виходить певним і збігається зі швидкістю світла).

Треба зауважити, що якщо не обмежувати клас перетворень координат лінійними, то перший закон Ньютона виконується не тільки для перетворень Лоренца, а для більш широкого класу дробно-лінійних перетворень (проте цей більш широкий клас перетворень - за винятком, звичайно, окремого випадку перетворень Лоренца - не зберігає метрику постійної).

1. Алгебраїчний висновок

На підставі декількох природних припущень (основним з яких є припущення про існування принципово максимальної швидкості поширення взаємодій) можна показати, що при зміні ІСО повинна зберігатися величина

 ,

звана інтервалом. З цієї теореми безпосередньо випливає загальний вигляд перетворень Лоренца

16 Постулати спеціальної теорії відносності. Перетворення і додавання швидкостей в теорії відносності

Непосредственным следствием преобразований Лоренца является релятивистское правило сложения скоростей. Якщо певний об'єкт має компоненти швидкості   щодо системи S і   - относительно S', то между ними существует следующая связь:

В этих соотношениях относительна скорость движения систем отсчёта v направлена вдоль оси x. Релятивістське складання швидкостей, як і перетворення Лоренца, при малих швидкостях (   ) Переходить в класичний закон додавання швидкостей.

Если объект движется со скоростью света   вздовж осі x щодо системи S, то така ж швидкість у нього буде і щодо S ':   . Це означає, що швидкість   является инвариантной (одинаковой) во всех ИСО.

Нехай матеріальна точка рухається у системі K' вздовж осі Ох зі швидкістю , а система рухається відносно K зі сталою швидкістю  , напрямленою вздовж осі Ох (рис.1.49). Тоді, використовуючи перетворення Лоренца, отримуємо релятивістський закон додавання швидкостей:

 

Якщо швидкості малі у порівнянні зі швидкістю світла, то ці формули переходять у закон додавання швидкостей у класичній механіці Цей закон не протиріче і першому постулату Ейнштейна, наприклад, якщо u = c i ′x = c , то х = с, отже, швидкість світла с є максимальною, яку неможливо перевищити. 

1. Знайдемо зв’язок між швидкістю частинки , що виміряна в системі відліку , та швидкістю тієї самої частинки , що виміряна в системі відліку . Вважаємо, що система рухається зі швидкістю відносно нерухомої системи (див. рис. 43.1).

Компоненти швидкості частинки в системі визначаються виразами

, , . (43.1)

У системі компоненти швидкості тієї ж частинки дорівнюють

, , . (43.2)

Знайдемо формули, що позв'язують нештриховані компоненти швидкості зі штрихованими. Для цього скористуємося перетвореннями Лоренца. Із цих формул отримуємо, що

. (43.3)

Розділивши перше із цих рівностей на четверте, прийдемо до співвідношення

,

яке з урахуванням (43.1) і (43.2) можна подати у вигляді

. (43.4)

Розділивши друге й третє з рівностей (43.3) на четверте, отримаємо ще два співвідношення:

. (43.5)

Формули (43.4) та (43.5) і розв’язують поставлене завдання. Вони отримали назву формули перетворення або додавання швидкостей в СТВ.

За формулами (43.4) і (43.5) здійснюється перетворення швидкостей при переході від системи до системи . Використавши аналогічно як і вище перетворення Лоренца, легко одержати формули

, , (43.6)

за якими здійснюється перетворення швидкостей при переході від системи до системи . Формули (43.6) відрізняються від формул (43.4) і (43.5), як і слід було сподіватися, тільки знаком перед  . Формули (43.6) також називаються формулами перетворення або додавання швидкостей в СТВ.

2. Проведемо дослідження формул додавання швидкостей в СТВ у граничних випадках.

Розглянемо випадок, коли . У цій ситуації вираз і ним можна в формулах (43.4)–(43.6) знехтувати. У результаті отримуємо, наприклад, з (43.4) та (43.5)

,

формули додавання швидкостей, за допомогою яких перетворюються швидкості в ньютонівській механіці. Таким чином, коли формули додавання швидкостей у СТВ переходять у формули додавання швидкостей ньютонівської механіки.

Розглянемо випадок, коли частинка рухається паралельно осям і в напрямку швидкості (див. рис. 42.1). Тоді збігається з модулем швидкості частинки в системі , a – з модулем швидкості в системі , і формула (43.4) має вигляд

. (43.7)

Швидкості , і паралельні й направлені в одну й ту саму сторону. Отже, формула (43.7) виражає закон додавання швидкостей. Якщо , то

. (43.8)

Таким чином, формула додавання швидкостей узгоджується с другим постулатом СТВ.