Проверим качество и точность каждой модели:

1. Аддитивная модель.

Таблица 33

Проверка адекватности модели
t	Y	e(t)	(e(t)-e(ср))	(e(t)-e(ср))^2	(e(t)-e(t-1))	(e(t)-e(t-1))^2	e(t)^2	e(t)/Yt
1	12,6	0,67	0,67	0,45	-	-	0,45	0,053078
2	18,92	1,01	1,01	1,02	0,34	0,12	1,02	0,053336
3	17,08	0,75	0,75	0,57	-0,26	0,07	0,57	0,044134
4	15,51	1,31	1,31	1,70	0,55	0,30	1,70	0,084164
5	8,97	-0,05	-0,05	0,00	-1,36	1,84	0,00	0,005844
6	14,52	-0,48	-0,48	0,23	-0,43	0,18	0,23	0,033202
7	12,77	-0,65	-0,65	0,42	-0,17	0,03	0,42	0,050697
8	12,96	1,66	1,66	2,77	2,31	5,34	2,77	0,128408
9	5,55	-0,56	-0,56	0,32	-2,23	4,96	0,32	0,101555
10	11,09	-1,00	-1,00	1,01	-0,44	0,19	1,01	0,09047
11	9,23	-1,28	-1,28	1,63	-0,28	0,08	1,63	0,138528
12	5,03	-3,36	-3,36	11,27	-2,08	4,32	11,27	0,667403
13	2,15	-1,05	-1,05	1,11	2,30	5,30	1,11	0,490623
14	8,95	-0,23	-0,23	0,05	0,82	0,67	0,05	0,026203
15	8,04	0,44	0,44	0,19	0,67	0,46	0,19	0,054749
16	5,68	0,20	0,20	0,04	-0,24	0,06	0,04	0,03552
17	0,14	-0,16	-0,16	0,02	-0,36	0,13	0,02	1,114623
18	5,85	-0,43	-0,43	0,18	-0,27	0,07	0,18	0,072773
19	4,21	-0,48	-0,48	0,23	-0,06	0,00	0,23	0,114258
20	2,56	-0,01	-0,01	0,00	0,47	0,22	0,00	0,003693
21	0,08	2,69	2,69	7,25	2,70	7,30	7,25	33,6593
22	3,87	0,50	0,50	0,25	-2,19	4,79	0,25	0,129991
23	1,1	-0,68	-0,68	0,47	-1,19	1,40	0,47	0,620214
24	0,85	1,19	1,19	1,41	1,87	3,50	1,41	1,399221
сумма	187,71	0,00	0	32,61	0,52055	41,35	32,61356	39,17
среднее	7,82125	0,000001	-2,8E-17	1,36	0,02263261	1,80	1,358898	1,63
max	2,69
min	-3,36

1) Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы H₀:│ε│=0.С этой целью строится t-статистика:

где -среднее арифметическое значение уровней ряда остатков е_t:

Расчетное значение t_расч сравниваем с табличным t_{расч(a,v)} –критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1-α)и степенями свободы v=n-1=24-1=23.

t_{табл(0,05;24)}= 2,068657599

Так как t_расч< t_{табл(0,05;24)},то гипотеза о равенстве математического ожидания уровней ряда остатков нулю принимается, т.е. модель по этому критерию адекватна.

2)Проверка случайности возникновения отдельных отклонений от тренда. Для проверки случайности уровней ряда воспользуемся критерием «пиков» (поворотных точек). Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше (меньше) соседних с ним элементов. Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как

где р-фактическое число поворотных точек в случайном ряду;1,96-квантильнормального распределения для 5%-го уровня значимости. Квадратные скобки здесь означают, что результата вычисления следует взять целую часть.

Если неравенство не соблюдается, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту) и модель является не адекватной.

Следовательно, модель по данному критерию неадекватна.

3)Проверка условия независимости, или наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях от модели роста, осуществляется с помощью критерия Дарбина –Уотсона. Находится величина d по формуле

Табличные значения d₁=1,27 d₂=1,44

Так как величина d=1,26793 не входит в интервал [d₂=1,27;1,44;] следовательно, не отсутствует автокорреляция в остатках, модель неадекватна.

4) Соответствие ряда остатков нормальному распределению определим с помощью RS-критерия

где e_max - максимальный уровень ряда остатков (2,69), e_min – минимальный уровень ряда остатков (-3,36); S-средне квадратическое отклонение

Расчетное значение не попадает в интервал RS [3,3;4,67],следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию неадекватна.

Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е_отн

2.Мультипликативная модель

t	Y	e(t)	(e(t)-e(ср))	(e(t)-e(ср))^2	(e(t)-e(t-1))	(e(t)-e(t-1))^2	e(t)^2	e(t)/Yt
1	12,6	5,03	5,597	31,33	-	-	25,28	0,399013
2	18,92	-6,09	-5,520	30,47	-11,12	123,59	37,08	-0,32187
3	17,08	-4,50	-3,929	15,44	1,59	2,53	20,24	-0,26338
4	15,51	-0,31	0,259	0,07	4,19	17,54	0,10	-0,02002
5	8,97	2,85	3,415	11,67	3,16	9,96	8,10	0,317254
6	14,52	-5,47	-4,897	23,98	-8,31	69,09	29,88	-0,37648
7	12,77	-4,25	-3,676	13,51	1,22	1,49	18,02	-0,33245
8	12,96	0,67	1,242	1,54	4,92	24,18	0,45	0,051839
9	5,55	0,87	1,444	2,08	0,20	0,04	0,76	0,157474
10	11,09	-3,87	-3,304	10,91	-4,75	22,54	15,00	-0,34926
11	9,23	-3,22	-2,652	7,04	0,65	0,42	10,38	-0,34909
12	5,03	-3,73	-3,156	9,96	-0,50	0,25	13,88	-0,74073
13	2,15	-1,08	-0,508	0,26	2,65	7,01	1,16	-0,50131
14	8,95	-0,99	-0,420	0,18	0,09	0,01	0,98	-0,11062
15	8,04	0,15	0,721	0,52	1,14	1,30	0,02	0,018787
16	5,68	0,46	1,026	1,05	0,31	0,09	0,21	0,080349
17	0,14	-1,64	-1,070	1,14	-2,10	4,39	2,69	-11,7114
18	5,85	0,93	1,503	2,26	2,57	6,62	0,87	0,159513
19	4,21	0,88	1,454	2,11	-0,05	0,00	0,78	0,210033
20	2,56	0,87	1,438	2,07	-0,02	0,00	0,75	0,339321
21	0,08	-0,25	0,318	0,10	-1,12	1,25	0,06	-3,14231
22	3,87	3,98	4,546	20,67	4,23	17,87	15,81	1,027487
23	1,1	2,34	2,907	8,45	-1,64	2,69	5,46	2,124937
24	0,85	2,69	3,261	10,63	0,35	0,12	7,24	3,165812
сумма	187,71	-13,67	-6,6613E-15	207,44	-2,33661998	313,02	215,2285	-10,17
среднее	7,82125	-0,56972	-2,7756E-16	8,64	-0,10159217	13,61	8,967854	-0,42
max		5,03
min		-6,09

1)Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы H₀:│ε│=0.С этой целью строится t-статистика:

где -среднее арифметическое значение уровней ряда остатков е_t:

t_расч=0,56972/43,25*4,898979=0,064532

Расчетное значение t_расч сравниваем с табличным t_{расч(a,v)} –критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1-α)и степенями свободы v=n-1=24-1=23.

t_{табл(0,05;24)}=2,0687

Так как t_расч< t_{табл(0,05;24)},то гипотеза о равенстве математического ожидания уровней ряда остатков нулю принимается, т.е. модель по этому критерию адекватна.

2)Проверка случайности возникновения отдельных отклонений от тренда.

Следовательно, модель по данному критерию адекватна.

3) Проверка условия независимости, или наличия (отсутствия) автокорреляции в отклонениях от модели роста, осуществляется с помощью критерия Дарбина –Уотсона. Находится величина d по формуле

Табличные значения d₁=1,27 d₂=1,44

Так как величина d= не входит в интервал [d₂=1,27;1,44;] следовательно, не отсутствует автокорреляция в остатках, модель неадекватна.

4) Соответствие ряда остатков нормальному распределению определим с помощью RS-критерия

где e_max - максимальный уровень ряда остатков (5,03), e_min – минимальный уровень ряда остатков (-6,09); S - средне квадратическое отклонение.

Расчетное значение не попадает в интервал RS [3,3;4,67],следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию неадекватна.

Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации Е_отн

3. Модель Четверикова

Таблица 35

t	Y	e(t)	(e(t)-e(ср))	(e(t)-e(ср))^2	(e(t)-e(t-1))	(e(t)-e(t-1))^2	e(t)^2	e(t)/Yt
1	12,6	6,29	5,45	29,67	-	-	39,55	0,499135
2	18,92	2,17	1,32	1,75	-4,12	17,00	4,69	0,114487
3	17,08	1,38	0,54	0,29	-0,79	0,62	1,91	0,080813
4	15,51	3,57	2,73	7,46	2,19	4,81	12,77	0,230394
5	8,97	2,13	1,29	1,67	-1,44	2,07	4,55	0,237832
6	14,52	2,11	1,26	1,60	-0,03	0,00	4,44	0,145079
7	12,77	1,18	0,34	0,11	-0,93	0,86	1,39	0,092443
8	12,96	3,70	2,86	8,18	2,52	6,36	13,71	0,285692
9	5,55	1,18	0,34	0,11	-2,52	6,37	1,39	0,212462
10	11,09	0,55	-0,30	0,09	-0,63	0,40	0,30	0,049214
11	9,23	-0,46	-1,30	1,70	-1,01	1,02	0,21	-0,05006
12	5,03	-2,15	-3,00	8,98	-1,69	2,86	4,64	-0,42834
13	2,15	0,90	0,06	0,00	3,06	9,33	0,81	0,418898
14	8,95	-0,27	-1,11	1,23	-1,17	1,36	0,07	-0,02979
15	8,04	-0,24	-1,08	1,17	0,03	0,00	0,06	-0,02979
16	5,68	0,44	-0,41	0,17	0,68	0,46	0,19	0,076673
17	0,14	1,16	0,32	0,10	0,72	0,52	1,34	8,279912
18	5,85	-1,33	-2,18	4,74	-2,49	6,22	1,78	-0,22811
19	4,21	-2,03	-2,87	8,23	-0,69	0,48	4,11	-0,48128
20	2,56	-0,57	-1,41	2,00	1,45	2,12	0,33	-0,22329
21	0,08	1,17	0,33	0,11	1,74	3,04	1,37	14,63948
22	3,87	0,53	-0,31	0,10	-0,64	0,41	0,28	0,137541
23	1,1	-1,47	-2,31	5,34	-2,00	4,00	2,16	-1,33462
24	0,85	0,28	-0,57	0,32	1,74	3,04	0,08	0,325185
сумма	187,71	20,21	0	85,11	-6,01269363	73,35	102,1268	23,02
среднее	7,82125	0,84204	-1,9E-17	3,55	-0,26142146	3,19	4,255282	0,96

1)Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы H₀:│ε│=0.С этой целью строится t-статистика:

где -среднее арифметическое значение уровней ряда остатков е_t:

t_расч=10,28

Расчетное значение t_расч сравниваем с табличным t_{расч(a,v)} –критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1-α)и степенями свободы v=n-1=24-1=23.

t_{табл(0,05;24)}=2,0687

Так как t_расч>t_{табл(0,05;24)},то гипотеза о равенстве математического ожидания уровней ряда остатков нулю отклоняется, т.е. модель по этому критерию неадекватна.

2)Проверка случайности возникновения отдельных отклонений от тренда. Для проверки случайности уровней ряда воспользуемся критерием «пиков» (поворотных точек). Значение случайной переменной считается поворотной точкой ,если оно одновременно больше (меньше) соседних с ним элементов. Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как

где р-фактическое число поворотных точек в случайном ряду;1,96-квантильнормального распределения для 5%-го уровня значимости. Квадратные скобки здесь означают ,что результата вычисления следует взять целую часть.

Если неравенство не соблюдается ,то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту ) и модель является не адекватной.

Рис. 12

Следовательно, модель по данному критерию неадекватна.

3)Проверка условия независимости, или наличия (отсутсвия) автокорреляции в отклонениях от модели роста, осуществляется с помощью критерия Дарбина –Уотсона. Находится величина d по формуле

Табличные значения d₁=1,27 d₂=1,44

Так как величина d=1.72 не входит в интервал [ d₂=1,27;1,44], то модель по этому критерию адекватна.

4.Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения .

С помощью RS-критерия:

, где

где e_max- максимальный уровень ряда остатков,

e_min- минимальный уровень ряда остатков,

S- средне квадратическое отклонение.

e_max=6,29

e_min=-2,15

S_e=1,924

Расчетное значение не попадает в интервал RS: [3,3;4,67], следовательно, не выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию неадекватна. Для оценки точности модели вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации E_отн.

Вычислим стандартные ошибки моделей по формуле:

Для построения прогноза выберем аддитивную модель. Прогноз вычисляется по формуле:

Y_{прогноз(n+k)}=(a₀+a₁(n+k)+S_i

Y₂₅=-0,8678*25+23,76+0,222313=2,2873

Y₂₆=-0,8678*26 +23,76+1,638313=2,8355

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. При уровне значимости α=0,05доверительная вероятность равна 95%,а критерий Стьюдента при v=n-1=23 равен 2,0687.Ширину доверительного интервала вычислим по формуле: