16)Оптимальные управления, синтезируемые в процессе функционирования системы в реальном времени. Алгоритмы модального управления.

Рассмотренные выше алгоритмы конструирования оптимальных регуляторов для объектов, возмущенное движение которых описывается дифференциальным уравнением :

получали выражение для вектора управления

,

где - матрица регулятора,

, где матрица

- решение уравнения Риккати,

В выражение (2) входит вектор состояния, компоненты которого в общем случае измерению доступны не все, а лишь некоторые. При этом вводится в рассмотрение новый вектор, называемый вектором наблюдения :

,

где - матрица измерений, структура которой определяется измерительной системой. В такой связи возникает задачи восстановления (оценки, наблюдения) вектора на интервале наблюдения по результатам измерения , после чего выражение может быть применено, заменяя .

Рассмотрим вначале устройство восстановления, которое описывается уравнением:

(4)

Несомненным является факт, что при, , решение уравнения то что совпадет с решением уравнения .

В противном случае возникнет ошибка

В случае, если объект асимптотически устойчив, эта ошибка с течением времени стремится к нулю:

Если же объект неустойчив, то

и алгоритм АКОР в принципе невозможен.

Для расширения классов объектов, к которым применены процедура , используем измерения в уравнении наблюдателя:

Второе слагаемое в этом уравнении служит для коррекции оценки вектора состояния по ошибке восстановления, при этом - матрица коэффициентов усиления наблюдателя (матричный коэффициент усиления).

В этом случае, после подстановки (6) и(1) в (5) получим:

Теперь для выполнения условия

достаточно, чтобы не объект был асимпогитически устойчив (самолет МИГ-29, СУ-37 и др. таковыми не являются!), а матрица , придающая наблюдателю свойство асимптотической устойчивости.

В случае стационарных систем:

,

наблюдатель имеет вид:

где -матрица чисел.

Так-как размерность вектора состояния наблюдателя или равна размерности вектора состояния объекта , то такой наблюдатель называется наблюдателем полного порядка.

Для определения матрицы , обеспечивающей асимптотическую устойчивость наблюдателя , используют один из 2-х наиболее часто применяемых способа. Для рассмотрения обоих ограничимся стационарным случаем. При этом будем полагать объект полностью наблюдаемым:

если

где n-размерность вектора состояния.

Наблюдатель Люенбергера

1.Введем в рассмотрение новый вектор состояния наблюдателя

-неособая матрица чисел размером

Продифференцируем и получим уравнение наблюдателя:

Подставим сюда :

Учтем :

Введем обозначения:

Получим:

Если исключить из рассмотрения матрицы

, получим:

Из этого следует, что для асимптотической устойчивости устройства наблюдения необходимо и достаточно, чтобы собственные числа матрицы Г имели отрицательные вещественные части. При этом требования к матрицам следующие: -произвольные размером , -не должны иметь общие собственные числа.

Уравнение наблюдателя впервые были получены Люенбергером, по этому он и называется наблюдателем Люенбергера.

Очевидно, что размерность этого наблюдателя может быть уменьшена на число компонент измеряемого вектора . Такой наблюдатель называется наблюдателем пониженного порядка:

где - -мерный вектор состояния наблюдателя;

- матрицы чисел соответствующих размеров.

Матрицы определяется из уравнения: и, где -единичная матрица размерностью

- решение уравнения:

.

Алгоритмы модального управления

Рассмотренный метод Люенбергера не давал в явном виде алгоритм получения .

Поэтому зачастую предпочтителен алгоритм модального управления для ее определения.

Нули и полюса передаточных функций линейных стационарных систем (собственные числа соответствующих матриц) традиционно игра­ют большую роль при описании динамических свойств систем указан­ного класса. В классической ТАУ эти величины использовались как при анализе, так и при синтезе линейных стационарных систем. При этом метод синтеза, обеспечивающий заданное распределение полюсов пе­редаточной функции замкнутой системы на комплексной плоскости, по­лучил название метода стандартных коэффициентов.

В 80-х годах алгебра собственных чисел передаточных матриц ли­нейных стационарных систем получила всестороннее развитие и стала именоваться модальным управлением.

Смысл термина «модальное управление» заключается в прида­нии собственным числам матрицы замкнутой линейной системы желае­мых значений или обеспечении принадлежности этих чисел к заданному множеству. Ясно, что возможность решения указанной задачи зависит от степени непосредственной наблюдаемости, наблюдаемости и управ­ляемости.

Постановка задачи.

Пусть имеется объект управления

= Ах + Ви, (17)

где А и В— заданные матрицы чисел размеров п×n и n×r соответ­ственно, удовлетворяющие условию полной управляемости.

Требуется найти управление

(18)

(где С — искомая матрица размера пr)

такое, чтобы все или часть собственных чисел (мод) матрицы

замкнутой системы имели заданные значения.

Алгоритмы модального управления.

Рассмотрим вначале слу­чай скалярного управления.

Тогда в (17) В = b, где b — n-мерный век­тор.

При заданном характеристическом полиноме

D(p) =

замкнутой системы алгоритм (процедура 1) синтеза мо­дального управления состоит из операций:

1. Вычислим характеристический полином объекта (17)

d(p) = . (19)

2. Из коэффициентов полиномов D(p) (замкнутой системы) и d(p) (объекта управления) сформируем вектор

(20)

3. Найдем искомый вектор

(21)

где

Описанная процедура синтеза опирается на известный факт, состоящий в том, что уравнения полностью управляемого объекта (17) (т.е. определитель 0 ) можно привести к виду

с помощью преобразования

где

Переходя к процедуре векторного управления необходимо отметить, что в отличие от случая скалярного управления решение задачи модального управления неединственно в этом случае и при этом могут быть предложены различные алгоритмы вычисления матрицы С. Рассмотрим один из них, называемый процедурой 2.

1. Найдем матрицу М размером rn такую, чтобы система

(22)

где - n-мерный первый столбец матрицы М ;

u₁- первая компонента вектора управления;

была полностью управляема.

2. Применяя для объекта (22) процедуру 1 , найдем вектор

и сформируем матрицу

(23)

3.Вычислим искомую матрицу

С^T=M+N (24)

Рассмотрим подробнее этапы процедуры 2

2.1. Сформулируем матрицу управляемости

(25)

2.2. Выберем из nr столбцов этой матрицы n – линейно независимых. Способов такого выбора много. Некоторые из них уже рассматривались на кафедре высшей математики. Например, такие столбцы можно перебирать до тех пор, пока не будет найден вектор

который является линейной комбинацией предшествующих векторов.

Если =n , то происходит переход ко второму шагу процедуры 2.

Если n, то можно добавлять к полученному набору следующие векторы. В результате получим матрицу

1. . Вычислим

М=-SP^-1 (26)

где , где е_i – i- е столбцы единичной матрицы.

Управление отдельными модами

В ряде случаев необходимо «переместить» не все корни характеристического уравнения объекта, а лишь один (например, ближайший к мнимой оси) или несколько из них.

Пусть корни ₁ ₂ _{3 .}... _n характеристического уравнения объекта (17) вещественны и различны. Рассмотрим задачу выбора управления (18), обеспечивающего сдвиг ₁  ₁^* (где ₁^* - заданное отрицательное число) и оставляющего неизменными остальные собственные числа объекта. Процедура состоит из следующих операций :

1. Используя преобразование

где Т – неособая матрица чисел размера nn , приведем уравнение (17) к виду

(27)

где А^* - треугольная или диагональная матрица.

Матрица Т, при которой А^*=diag(₁ ₂ _{3 .}... _n) ^{имее т} в случае скалярного управления вид

(28)

2. Сформируем матрицу Z размера rn вида

(29)

Отличные от нуля элементы этой матрицы определяются из равенства

(30)

3. Найдем искомую матрицу С

С^Т = -ZT (31)

Особенности синтеза для дискретного времени.

В случае дискретного времени дифференциальные уравнения (17), (22), (29) заменяются на разностные уравнения, а в матрицах управляемости и в векторах управления используются значения соответствующих компонентов в дискретные момент времени. Решение разностных уравнений требует соблюдения известных условий по обеспечению устойчивости и сходимости вычислительных алгоритмов, в частности – выбор для интегрирования схемы Эйлера имеет самые некритичные требования по мощности вычислителя, однако и точность при этом обеспечивается самая низкая, методы Рунге-Кутта обеспечивают приемлемую точность, однако требуют выполнения жестких требований к устройству вычислений по объему памяти. С точки зрения же структуры вычислительных процедур 1 и 2, то принципиальной разницы не существует.