25. Вероятностное описание состояния микрочаситиц. Волновая функция. Стандартные

В развитие идеи де-Бройля о волновых свойствах вещества Э.Шрёдингер получил в 1926 г. свое знаменитое уравнение. Шрёдингер сопоставил движению микрочастицы комплексную функцию координат и времени, которую он назвал волновой функцией и обозначил греческой буквой «пси» (psi). Мы будем называть ее пси-функцией. Пси-функция характеризует состояние микрочастицы. Вид функции получается из решения уравнения Шрёдингера. Правильную интерпретацию пси-функции дал М.Борн в 1926 г. Согласно Борну квадрат модуля пси-функции определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:dP=A*|psi|*|psi|dV=A*psi*psidV

(A — коэффициент пропорциональности).

Интеграл от выражения взятый по всему объему, дол­жен равняться единице: Действительно, этот интеграл дает вероятность того, что частица находится в одной из точек пространства, т.е. вероятность достоверного события, которая равна единице.

В квантовой механике принимается, что пси-функция допу­скает умножение на отличное от нуля произвольное комплекс­ное число C, причем psi и c*psi описывают одно и то же состоя­ние частицы. Это обстоятельство позволяет выбрать пси-функцию так, чтобы она удовлетворяла условию Условие носит название условия нормировки. Функции, удовлетворяющие этому условию, называются нор­мированными. Для нормированной функции выражение имеет вид dP=|psi|*|psi|dV=psu*psidV заключаем, что квадрат модуля пси-функции дает плотность вероятности (вероятность, отнесенную к единице объема) нахождения частицы в соответствующем месте пространства.

Из смысла пси-функции вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер. Она не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица. С помощью пси-функции можно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства.

В соответствии со своим смыслом пси-функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной (за исключением, быть может, особых точек). Кроме того, она должна иметь непрерыв­ную и конечную производную. Совокупность перечисленных тре­бований носит название стандартных условий.

26. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

электрон (и любая другая микроча­стица) не может иметь одновременно точных значений коорди­наты x и компоненты импульса Px. Неопределенности значений x и Px удовлетворяют соотношению deltaX*deltaPx>=h’/2 (h’ — постоянная Планка). Из (20.1) следует, что чем меньше неопределенность одной из переменных (x или px), тем больше неопределенность другой. Возможно такое состояние, в котором одна из переменных имеет точное значение, другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной (ее неопре­деленность равна бесконечности). Соотношение, имеет место для y и py, для z и pz, а также для ряда других пар величин (в классиче­ской механике такие пары величин называются канонически сопряженными). Обозначив канонически сопряженные ве­личины буквами A и B, можно написать deltaA*deltaB>=h’/2 Соотношение называется соотношением неопре­деленности для величин A и B. Это соотношение открыл В.Гейзенберг в 1927 г. Утверждение о том, что произведение неопределенностей зна­чений двух сопряженных переменных не может быть по по­рядку величины меньше постоянной Планка h’, называется принципом неопределенности Гейзенберга.

Энергия и время являются канонически сопряженными вели­чинами. Поэтому для них также справедливо соотношение не­определенности: deltaE*deltat>=h’/2

Это соотношение означает, что определение энергии с точностью deltaE должно занять интервал времени, равный по меньшей мере deltat~h’/delatE.

Соотношение неопределенности было установлено из рас­смотрения, в частности, следующего примера. Попытаемся опре­делить значение координаты x свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель ширины deltax, расположенную перпендикулярно к направ­лению движения частицы (рис. 20.1). До прохождения частицы через щель ее со­ставляющая импульса px имеет точное значение, рав­ное нулю (щель по условию перпендикулярна к импуль­су), так что deltapx=0, зато координата x частицы явля­ется совершенно неопределенной. В момент прохож­дения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты x появляется неопределенность deltax, но это достигается ценой утраты определенности значения px. Действительно, (вследствие дифракции имеется некоторая ве­роятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2fi, где fi — угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (максимумами высших порядков можно пренебречь, поскольку их интенсивность мала по сравнению с интенсив­ностью центрального максимума). Таким образом, появляется неопределенность: deltapx=psinfi .

Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающемуся от щели ширины deltax, соответствует угол fi, для которого sinfi=lambda/deltax Следовательно, deltapx~p* lambda/deltax Отсюда получается соотношение согласующееся с (20.1). . Соотношение неопределенности указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики приме­нительно к микрочастицам, в частности, с какой степенью точ­ности можно говорить о траекториях микрочастиц. Движение по траектории характеризуется вполне определенными значениями координат и скорости в каждый момент времени. Подставив в (20.1) вместо px произведение mvx, получим соотношение . Мы видим, что чем больше масса частицы, тем меньше неопре­деленности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью применимо понятие траектории. Уже для макрочастицы размером всего 1мкм неопределенности значений x и vx оказываются за пределами точности измерения этих ве­личин, так что практически ее движение будет неотличимо от движения по траектории.

Соотношение неопределенности является одним из фундамен­тальных положений квантовой механики. Одного этого соотно­шения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов, В частности, оно позволяет объяснить тот факт, что элек­трон не падает на ядро атома.

Если бы электрон упал на точечное ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности.