6.7. Пересечение поверхности вращения плоскостью

Форма сечения поверхности вращения плоскостью зависит от угла наклона секущей плоскости к оси вращения поверхности.

Если секущая плоскость:

перпендикулярна оси вращения, сечение – окружность;

наклонена к оси и пересекает все образующие – эллипс;

параллельна одной образующей – парабола;

параллельна двум образующим – гипербола;

проходит через вершину – две пересекающиеся прямые;

касается поверхности – прямая.

Вся совокупность этих линий может быть получена при пересечении конуса плоскостью. Поэтому их называют коническими сечениями, или кониками.

Для построения линии пересечения необходимо найти общие точки поверхности и заданной плоскости. Для определения этих точек необходимо ввести дополнительные секущие плоскости, которые дают наиболее простые линии сечения – окружности или ломаные прямые.

Построение линии сечения начинают с нахождения характерных точек сечения, к которым относятся:

высшая и низшая точки;

крайняя левая и крайняя правая точки, в которых проекции линии сечения касаются очерковых образующих (точки, лежащие на границе видимости);

ближайшая и наиболее удаленная точки сечения.

Развертка

Полная развертка боковой поверхности конуса представляет собой угол кругового сектора.

Способ малых хорд.

Графическое построение величины осуществляется способом малых хорд, при котором окружность основания конуса делится на 8 или 12 равных частей и полученная длина дуги приравнивается ее хорде.

Разрывать отсеченную боковую поверхность следует по наиболее короткой или длинной образующей, так чтобы развертка представляла собой симметричную фигуру и была единым целым.

6.8. Пересечение поверхностей

6.8.1. Пересечение многогранников

Многогранники пересекаются по замкнутым пространственным ломаным линиям, которые могут быть найдены следующим образом:

Способ ребер. Находятся точки пересечения ребер одного многогранника с гранями другого.

Способ граней. Определяются отрезки прямых, по которым грани одного многогранника пересекаются с гранями другого.

6.8.2. Пересечение поверхностей вращения

Линией пересечения поверхностей является плоская или пространственная кривая, состоящая из:

одного замкнутого контура, если одно геометрическое тело частично врезается в поверхность другого;

распадается на несколько линий, если поверхность одного тела полностью пронизывает поверхность другого.

Рассмотрим особые случаи пересечения поверхностей вращения.

Цилиндрические, конические поверхности и однополосный гиперболоид вращения относятся к линейчатым поверхностям вращения второго порядка. Сфера, эллипсоид вращения, параболоид вращения и двухполосный гиперболоид вращения – нелинейчатые поверхностям второго порядка.

Поверхность второго порядка – множество точек пространства, декартовые координаты которых соответствуют алгебраическому уравнению второй степени.

.

Из аналитической геометрии известно, что порядок линии пересечения поверхностей равен произведению порядков поверхностей. Поэтому в общем случае две поверхности второго порядка (квадрики) пересекаются по пространственной линии четвертого порядка (биквадратной кривой), которая иногда распадается на несколько линий.

В некоторых частных случаях линия пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Условия, при которых это возможно, определены в следующих теоремах. Зная их, можно быстрее и точнее построить линию пересечения поверхностей.

Построение линии пересечения поверхностей вращения в общем случае ведется с помощью дополнительных секущих поверхностей, в качестве которых могут быть использованы плоскости или сферы.

Секущие поверхности выбираются таким образом, чтобы с заданными поверхностями они пересекались по линиям, легко определяемым на КЧ.

Чтобы построить линию пересечения поверхностей на КЧ, необходимо:

Ввести ряд вспомогательных плоскостей или сфер, пересекающих обе заданные поверхности.

Построить линию пересечения каждой заданной поверхности со вспомогательной.

В месте пересечения построенных таким образом линий определить точки искомой линии взаимного пересечения.

Соединить полученные точки пересечения между собой с учетом видимости линии сечения.

Способ нахождения линии пересечения с помощью дополнительных плоскостей называется способом секущих плоскостей, а нахождение линии сечения с помощью дополнительных сфер – способом секущих сфер.

Каким бы способом не производилось нахождение линии пересечения, ее построение начинается с определения характерных точек сечения, а затем определяются промежуточные точки, необходимые для точности построения линии пересечения.

К характерным точкам линии пересечения относятся:

точки, проекции которых лежат на проекциях контурных образующих (очерках) заданных поверхностей;

«крайние» точки – правые и левые, наивысшие и наинизшие, ближайшие и наиболее удаленные.