3. Теорема о сущ-ии точной верхней и точной нижней грани.

Теорема: Любое не пустое огр-е сверху(снизу) множ-во имеет точную верх.(нижн.) грань

4. Открытые и замкнутые множества. Компактность множества. Отображение.

ОПР1: Точка хХ называется внутренней точкой этого множества, если >0, что -окрестность точки  Х.

ОПР2: Множество Х называется открытым, если любая его точка является внутренней.

ОПР3: Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

ОПР4: Множество Х называется компактным, если оно является замкнутым и ограниченным.

ОПР5: Пусть даны множества Х и У. Если каждому хХ по некоторому закону f поставлен в соответствие элемент уУ, то на множестве Х задано отображение множества У.

По определению Ø и R считаются замкнутыми множествами.

5. Числовые последовательности и арифметические действия над ними.

Если каждому числу nN поставлено в соответствии по определенному закону некоторое x_nR, то множество вещ-х чисел х₁, х_2,..., х_n называется числовой последовательностью. х₁, х_2,..., х_n- элементы последовательности. Посл-ть считается заданной, если указан способ получения любого ее эл-нта. Способы задания числ посл-ти:

а) формула общего члена - xn=n-1\n+1 (0,1\3,1/2,3/5…)

б)алгоритмически, т.е задан некий алгоритм, позволяющий получить.

в)рекурентный, заключается в получении последовательных эл-в послед-ти на основе предыдущих. (система:х1=1, х_n+1=x_n+2; получим 1, 3, 5…).

Г) геометрически {1\n}

Любая последовательность имеет бесконечное число эл-в.

Арифм-е действия над последовательностями: пусть даны послед-ти Х_и и У_n 1)произведением послед-ти на число а назовем послед-ть, сост из ах₁, ах₂, ах_n аR, а*{Xn}={a*Xn};

2) суммой посл-тей назовем послед-ть, сост из эл-в х₁+у₁,х₂+у₂,х_n+у_n {Xn}+{Yn}={Xn+Yn};

3) разностью послед-ей назовем послед-ть, сост из эл-в х₁-у₁,х₂-у₂,х_n-у_n {Xn}-{Yn}={Xn-Yn};

4) Произведением послед-ей назовем послед-ть, сост из эл-в х₁*у₁,х₂*у₂,х_n*у_n {Xn}*{Yn}={Xn*Yn};

5)Частным послед-ей назовем послед-ть,сост из эл-в х₁ \ у₁ , х₂ \ у₂ , х_n \ у_{n /}{Xn}\{Yn}={Xn\Yn}, для n Yn≠ 0.

6. Ограниченные и неограниченные последовательности.

Числовая посл-ть называется огр-ой сверху (снизу), если сущ-т некоторое М(m)R, такое что любой эл-т послед-ти удовл неравенству Xn≤M (Xn≥m)

Посл-ть называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т. е.  m,MR ,такое что любой эл-т Х_n удовлетворяет неравенству m  Xn  M. Если С≡max{|m|,|M|}, то определение огр-ой посл-ти можно записать следующим образом: ( С>0) (nN ) |Xn| C.

Посл-ть называется неограниченной, если для любого сколь угодно большого числа А найдется такое nN, для которого выполняется следующее неравенство: |Xn|>A

7.Бесконечно-малые и –большие последовательности. Теория связи между б. М. И б. Б. Посл-ми.

Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует номер n₀ такой, что все эл-ты послед-ти с номерами большими n₀ удовлетворяют неравенству |x_n | > А

(А>0 )( n₀₌ n₀(A)N: n>n₀ |x_n|>A.

Любая б.б. посл-ть явл-ся неогр-ой, но неограниченная послед-ть может и не быть б.б.. Посл-ть называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε существует номер n₀ такой , что все эл-ты послед-ти с номерами большими n₀ удовлетворяют неравенству |x_n|< ε

(ε >0)(  n₀ = n₀ (A) N : n>n₀ |x_n |< ε

. Теорема: 1) Если {Xn}- б. б. посл-ть и все ее эл-ты отличны от 0, то послед-ть {1/Xn}-б. м.

2) Если {Xn}- б.м. посл-ть и все ее эл-ты отличны от 0, то послед-ть {1/Xn}- б. б.

Док-во. 1) пусть{Xn}- б. б. посл-ть. Возьмём любое ε>0, положим А=1/ε. Рассмотрим нер-во |1/Xn|=1/|Xn|<1/A=ε, таким образом имеем |1/x_n|<ε, значит последовательность {1/Xn}- бесконечно малая.

8. Свойства БмП.

ТЕОР1: Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей – посл-ть бесконечно малая.

Док-во.

Пусть {α_n} и{β_n}-б.м.п.

Докажем,что послед-ть { α_n ±β_n }-б.м.п.

Пусть ε- произв. Положительное число.

N₁ - номер,начиная с которого для всех эл-в послед-ти {α_n} выполняется неравенство | α_n |< ε\2 , а N₂ -номер,начиная с которого для всех эл-в послед-ти {β_n} выполняется неравенство | β_n | < ε\2

Такие номера N₁ и N₂ существуют по определению б.м.п.

Возьмем N=max {N₁, N₂}. Тогда для всех эл-в послед-ей {α_n} и{β_n} с номерами большего этого номера N ,будут одновременно выполняться неравенства | α_n |< ε\2 и | β_n | < ε\2.

След-но,для всех таких эл-в имеем | α_n± β_n |≤| α_n |± | β_n |< ε\2+ ε\2= ε. А это означает, что послед-ть { α_n ±β_n }-б.м.п. Теорема доказана.

Следствия из этой теоремы алгебраическая сумма любого конечного числа б.м.п.есть б.м.п.

ТЕОР2: Произведение 2-х б.м.п. есть послед-ть б.м.

Док-во.

Пусть {α_n} и{β_n}-б.м.п.

Докажем,что послед-ть { α_n *β_n }-б.м.п, т.к. {α_n}- б.м.п., то для любого ε>0 существует N₁ -номер такой, что все эл-ты послед-ти {α_n} с номерами большими N₁ удовлетворяют неравенству | α_n |< ε. Т. к. {β_n}-б.м.п., то для ε=1 существует номер N_2, такой, что все эл-ты послед-ти ти {β_n} выполняется неравенство | β_n | <1

Возьмем N=max {N₁, N₂}. Тогда для всех эл-в послед-ей {α_n} и{β_n} с номерами большего этого номера N ,будут одновременно выполняться неравенства и след-но,для всех таких эл-в имеем | α_n* β_n |=| α_n |* | β_n |< ε*1= ε. А это означает, что послед-ть { α_n *β_n }-б.м.п. Теорема доказана.

Следствие из этой теоремы произведение любого конечного числа б.м.п есть послед-ть б.м.

ТЕОР3: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую – последовательность бесконечно малая