40. Понятие дифференциала функции. Геометрический смысл дифференциала.

Пусть ф-ция Y=f(x) дифференцируема в точке X0, т. е. ее приращение Y в этой точке представимо в виде: Y=AX+(X)X, где lim (X)=0. Слагаемое AX является при X0 бесконечно малой одного порядка с X (при А0), оно линейно относительно X. Слагаемое (X) при X0 бесконечно малая более высокого порядка, чем X, так как lim ((X) X)/X = lim (X)=0. Т. о. первое слагаемое является главной частью приращения функции.

41.Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними.

Ф-ция f(x) называется бесконечно малой ф-цией в точке x=а, если предел ее в этой точке равен 0:

lim _x→a f(x) = 0.

Аналогично определяются бесконечно малые при x→∞, x→±∞, x→a+ и х→а-

Теорема: Если ф-ция f(x) имеет предел А в точке x=a, то функция α(х)=f(x) – А является бесконечно малой в точке а.

Доказательство: действительно, из теоремы «Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке а пределы соответственно А и В. Точка функции f(x)±g(x), f(x)•g(x) и f(x)⁄g(x) имеют в точке а пределы, равные соответственно А±В, А•В и А⁄В» вытекает, что lim _x→a α(x) = lim _x→a f(x) – lim _x→a A = А – А=0, откуда, согласно определению, следует, что α(х) – бесконечно малая функция в точке а.

Мы получаем специальное представление для функций, имеющих предел в точке х=а, через бесконечно малую функцию: f(x) = A + α(x)

Теорема: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых ф-ций в точке а, как произведение бесконечно малой на ограниченную ф-цию, является бесконечно малыми ф-циями в точке а.

Ф-ция f(x) называется бесконечно большой ф-цией в точке а, если для любой сходящейся к а посл-ти {х_n} значений аргумента соответствующая посл-ть {f(x_n} значений ф-ции явл-ся бесконечно большой посл-тью.

В этом случае пишут lim _x→a f(x)=∞ (lim _x→a f(x)=+∞или lim _x→a f(x)=-∞) и, говорят, что ф-ция имеет в точке а бесконечный предел (+∞ или -∞). По аналогии с конечными односторонними пределами определены и односторонние бесконечные пределы: lim _x→a+ f(x) =+∞, lim _x→a- f(x)=-∞, lim _x→a- f(x), lim _x→a+ f(x)=-∞

Аналогично определяются бесконечно малые при x→∞, x→±∞, x→a+ и х→а-

42.Свойства бесконечно малых функций.

Теорема: Если ф-ция f(x) имеет предел А в точке x=a, то ф-ция α(х)=f(x) – А является бесконечно малой в точке а.

Теорема: Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых ф-ций в точке а, как произведение бесконечно малой на ограниченную ф-цию, является бесконечно м.

43.Правила сравнения бесконечно малых функций и бесконечно больших функций.

Свойство 1. Произведение бесконечно малой ф-ции     при   и функции   , ограниченной в некоторой   -окрестности точки  a, есть ф-ция бесконечно малая. Свойство 2. Сумма двух бесконечно малых ф-ций есть ф-ция бесконечно малая.