27. Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема: Пусть ф-ции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, тогда ф-ции f(x)  g(x), f(x)  g(x), f(x) g(x) (g(х)0) также непрерывны в этой точке.

Док-во: Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то lim f(x)=f(х₀) и lim g(x)=g(х₀). Тогда пределы функций f(x)  g(x), f(x)  g(x), f(x) g(x) существуют и равны f(х₀)  g(х₀), f(х₀)  g(х₀), f(х₀) g(х₀). Но эти величины равны значениям соответствующих функций в точке х₀. f(x)  g(x), f(x)  g(x), f(x) g(x) непрерывны в точке х₀.

28. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.

Теор: Пусть ф-ция f(x) задана на мн-ве Х, непрерывна в точке х₀Х и f(x₀)0. Тогда существует такая -окр-ть точки х_0, что для всех х(х₀-, х₀+) функция f(x) имеет тот же знак, что и f(х₀).

29. Первая теорема Больцано-Коши

Теорема: Пусть ф-ция f(x) непрерывна на отрезке [A, B] и на его концах принимает значения разных знаков. Тогда существует точка С[A, B] , в которой f(C)=0.

Док-во: Разделим [A, B] пополам. Если значение функции в середине отрезка равно 0, то теорема доказана. В противном случае выберем ту половину, на концах которой ф-ция имеет значение разных знаков. Обозначим его [A1, B1]. Повторим деление. Если продолжать этот процесс неограниченно, то либо на каком-то шаге к значение функции в середине отрезка [Aк, Bк] окажется равным 0. Либо получим последовательность [A, B]  [A1, B1]  [A2, B2] … [An, Bn] вложенных отрезков, причем Bn – An = (В – А)/2ⁿ 0 при n и на концах каждого из этих отрезков функция имеет значения разных знаков.  По теореме о вложенных отрезках существует точка С принадлежащая всем отрезкам. Докажем, что f(C)=0. ПП: Пусть f(C)>0, тогда существует окрестность точки С (по Т об устойчивости знака непрерыв Ф), в которой f(C)>0. В эту окрестность при большом n попадает отрезок [An, Bn]  f(An) и f(Bn) >0, а это противоречит тому, что на концах [An, Bn] функция имеет значения разных знаков, значит f(C)=0.ч.т.д.

30. Вторая теорема Больцано-Коши.

Теорема: Пусть ф-ция f(x) непрерывна на [a, b], причем f(a)=A, f(b)=B. Пусть С – любое число, заключенное между А и В. Тогда на [a, b] найдется точка с такая, что f(с)=C.

31. Понятия точной верхней и точной нижней граней функции

Число М(м) называется точной верхней(нижней) гранью функции f(x) на мн-ве Х, если выполнены два условия: 1) f(x) ≤ M (f(x) ≥м) для любого xX;

2) для любого числа М₁<M (m₁>m) найдется по крайней мере одна такая точка х₁X, что f(x₁)>M₁ (f(x₁)<m₁).

32. Первая теорема Вейерштрасса

Теорема: Если ф-ция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке

(док-во по лемме: если ф-ция непрерывна в (.), то она ограничена в окр-ти этой точки)

33. Вторая теорема Вейерштрасса

Теорема: Непрерывная на [a, b] ф-ция f(x) принимает на нем свое min и max значение, т. е. существуют точки X1, X2[a, b] такие, что f(X1)=M=sup f(x) на [a, b], f(X2)=m=inf f(x) на [a, b].

34. Понятие сложной функции. Непрерывность сложной функции.

Если на некотором пром-ке Х определена ф-ция z = φ (х) с мн-вом значений Z, а на мн-ве Z определена ф-ция у = f(z), то ф-ция у = f[φ(x)] называется сложной функцией или суперпозицией функций.

ТЕОР: Пусть ф-ции z=(x) непрерывна в точке х₀, а функция y=f(z) непрерывна в точке z₀=(x₀). Тогда сложная функция y=f((x)) непрерывна в точке х₀.

Док-во: Пусть {Xn} – любая посл-ть из мн-ва Х, сходится к точке х₀. Т. к. ф-ция z=(x) непрерывна в точке х₀, соответствующая посл-сть точек {Zn}сходится к точке z₀, или lim z_n=lim φ(x_n)= φ(x₀)= z₀. В силу непрерывности ф-ции f(z) в точке z₀ имеем lim f[(х_n)] = f[(х₀)]. Получаем, что предел ф-ции f[(x)] в точке х₀ равен значению ф-ции в этой точке.  Функция y=f((x)) непрерывна. Ч.т.д.