2.3. Формула Литтла

У теорії масового обслуговування важливе значення має формула Литтла (закон збереження стаціонарної черги), яка дозволяє обчислювати середню кількість вимог, що знаходяться в системі. Щоб отримати формулу Литтла, розглянемо СМО загального виду, яку зображено на рис. 2.5 у вигляді «чорного ящика», і будемо спостерігати за її вхідними та вихідними потоками вимог.

Рис. 2.5. СМО загального виду

Процес (t) — деякий випадковий процес надходження вимог до системи за проміжок часу (0, t). Процес (t) визначає вихідний потік вимог із системи на цьому ж проміжку. Відобразимо обидва випадкових процеси у вигляді графіків, наведених на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Вхідні та вихідні випадкові процеси в СМО

Кількість вимог, що знаходяться в системі в будь-який момент часу t, можна знайти як .

Заштрихована площа між двома кривими (t) визначає загальну роботу (добуток кількості вимог на час перебування їх у СМО) на проміжку часу (0, t), яка вимірюється у вимогах за секунду.

Інтенсивність надходження вимог до СМО за час спостереження (0, t) можна визначити як

(2.2)

а середній час перебування вимог у системі за той же проміжок часу як

(2.3)

Середня кількість вимог, що перебували в системі за проміжок часу (0, t),

(2.4)

Використовуючи вирази (2.2) – (2.4), отримаємо таку формулу:

(2.5)

Для того щоб СМО була в стані рівноваги, потрібно, щоб середній час перебування вимог у системі був більшим за середній час їх обслуговування. Припустимо, що для СМО, яка розглядається,

де  — інтенсивність надходження, а Т — середній час перебування вимог у системі.

У цьому випадку існує також межа для середньої кількості вимог, які знаходяться в системі, тобто

Тоді з формули (2.5) отримаємо формулу Литтла у такому вигляді:

Отже, для будь-якого закону розподілу проміжків часу між двома моментами надходження вимог і будь-якого розподілу часу їх обслуговування, кількості пристроїв для обслуговування та дисципліни обслуговування середню кількість вимог, що знаходяться в СМО, визначають через інтенсивність надходження та середній час перебування вимог у системі.

Інтуїтивне доведення формули Литтла базується на тому, що кількість вимог у системі в момент надходження нової вимоги, буде такою ж, як і в момент, коли вимога залишає систему. Це свідчить про те, що СМО перебуває в стані рівноваги або сталому стані, тобто вимоги не можуть знаходитись у системі нескінченно довго і завжди залишають її. Як бачимо, під час виведення формули Литтла ніяких обмежень на тип СМО немає. Можна, наприклад, вважати, що СМО складається тільки з однієї черги або з одного пристрою для обслуговування.

2.4. Одноканальні системи масового обслуговування

Розглянемо одноканальну СМО з одним пристроєм для обслуговування S і чергою до нього q, яку зображено на рис. 2.7.

Рис. 2.7. СМО з одним пристроєм для обслуговування

Якщо позначити через w середній час перебування вимоги в черзі, то з формули Литтла можна отримати середню кількість вимог у черзі:

Якщо позначити середній час обслуговування вимоги в пристрої через і розглядати СМО як таку, що має один пристрій, то, використовуючи формулу Литтла, можна знайти середню кількість вимог у пристрої для обслуговування:

Для СМО з одним пристроєм для обслуговування завжди має місце рівність

де Т — середній час перебування вимоги в системі.

Коефіцієнт завантаження (коефіцієнт використання) пристрою для обслуговування  можна визначити, якщо розділити інтенсивність надходження вимог до системи () на швидкість обслуговування цих вимог у пристрої (), тобто

де

Тоді

Покажемо, що  — це ймовірність того, що під час надходження вимоги до системи пристрій для обслуговування буде зайнятим. Розглянемо як задовгий проміжок часу . Відповідно до закону великих чисел, очікувана кількість вимог на проміжку часу  з імовірністю 1 буде приблизно дорівнювати . Позначимо через р₀ імовірність того, що в деякий випадковий момент часу вимога, що надійшла, застане пристрій вільним. Тоді можна стверджувати, що на проміжку часу t пристрій буде зайнятим (1–р₀). Таким чином, з імовірністю 1 кількість обслужених за цей проміжок часу вимог буде дуже близькою до величини

Якщо всі вимоги, які надійшли за проміжок часу , вважати обслуженими, то

Таким чином, маємо , якщо , або , тобто з імовірністю вимога застає пристрій для обслуговування зайнятим, або дорівнює частці часу, протягом якого пристрій був зайнятим.

Введемо коефіцієнт варіації С як відношення стандартного відхилення від середнього значення до середнього значення :

Для експоненціального закону розподілу коефіцієнт варіації С = 1, оскільки і для цього закону дорівнюють . Для регулярного детермінованого закону розподілу С = 0 ( ). Таким чином, для моделі СМО типу G/G/1 з одним пристроєм і при довільних законах надходження та обслуговування вимог середня кількість вимог визначається як

Цей вираз можна отримати [21], якщо відзначити, що кількість вимог, які залишилися в системі після виходу деякої вимоги, є напівмарківським процесом з укладеним ланцюгом Маркова, який визначено в моменти виходу вимоги.

Використовуючи результат Хінчина-Полячека, можна отримати середній час перебування вимог у одноканальній СМО за формулою

(2.6)

Із формули (2.6) видно, що середній час перебування вимоги в системі залежить тільки від математичного сподівання і стандартного відхилення часу обслуговування. Таким чином, час чекання визначається як

Зазвичай потрібно знати нормований час чекання:

Для моделей типу М/М/1

Для моделей типу M/D/1

Таким чином, система з регулярним законом обслуговування характеризується середнім часом чекання, удвоє меншим, ніж для системи з показовим законом обслуговування. Це закономірно, оскільки час перебування вимог у системі та їх кількість пропорційні дисперсії часу обслуговування.