2.5. Багатоканальні системи масового обслуговування

Аналіз багатоканальних СМО (з кількома однаковими пристроями для обслуговування) (рис. 2.8), на відміну від одноканальних, є набагато складнішим. За допомогою теорії масового обслуговування можна отримувати аналітичні залежності в замкнутому вигляді для розрахунків характеристик роботи багатоканальної СМО в стаціонарному режимі роботи, однак лише для моделі типу М/М/m. Для СМО з іншими законами розподілу часу надходження та обслуговування вимог використовують числові методи.

Рис. 2.8. Багатоканальна СМО

Для системи, яка складається з m однакових пристроїв для обслуговування, коефіцієнт завантаження

Для багатоканальної СМО значення можна трактувати як математичне сподівання частки зайнятих пристроїв.

Приклад 2.1

Як приклад розглянемо часову діаграму роботи багатоканальної СМО з двома пристроями (ПР1 і ПР2) і двома позиціями 1, 2 для чекання в черзі (рис. 2.9). Час надходження вимоги до системи і час, коли вона залишила систему, наведено поряд із номером вимоги відповідно в нижній і верхній частинах рис. 2.9. Час спостереження за СМО (T_сп) становить 55 хв.

Рис. 2.9. Діаграма роботи багатоканальної СМО

На основі цієї діаграми розрахуємо значення деяких характеристик ефективності роботи СМО.

1. Імовірність обслуговування вимоги:

де і N — відповідно кількість обслужених вимог і загальна кількість вимог.

2. Пропускна здатність СМО:

де Т_сп — час спостереження за системою.

3. Імовірність відмови в обслуговуванні:

де N_від — кількість вимог, яким відмовлено в обслуговуванні.

4. Імовірність того, що вимога застане обидва пристрої вільними:

де Т_вілн — час, протягом якого обидва пристрої були вільними.

5. Імовірність того, що обслуговуванням зайнятий тільки один пристрій із двох:

де , — час, протягом якого були зайнятими відповідно перший і другий пристрої.

6. Імовірність того, що обслуговуванням зайняті обидва пристрої:

де — час, протягом якого обидва пристрої були зайнятими.

7. Середня кількість пристроїв, зайнятих обслуговуванням:

8. Імовірність того, що в черзі відсутні вимоги:

де — час, протягом якого в черзі не було вимог.

9. Імовірність того, що в черзі є лише одна вимога:

де — час, протягом якого в черзі перебувала лише одна вимога.

10. Імовірність того, що в черзі знаходяться дві вимоги:

де — час, протягом якого в черзі було дві вимоги.

11. Середня кількість вимог у черзі:

12. Середній час перебування вимог у черзі:

де — час перебування і-ї вимоги в черзі (і = 1, 2, ...).

13. Середній час перебування вимог у черзі без урахування вимог, які не чекали:

де — кількість вимог, які чекали в черзі.

14. Середній час обслуговування вимоги пристроями:

де — час обслуговування і-ї вимоги в СМО (і = 1, 2, ...).

15. Загальний середній час перебування вимоги в СМО:

16. Середня кількість вимог у системі обслуговування:

На рис. 2.10 зображено гістограму часу надходження вимог до СМО та його апроксимацію за експоненціальним законом розподілу (значення критерію Колмогорова-Смирнова для даної вибірки дорівнює 0.1345275). На гістограмі видно, що кількість вимог, які надійшли до системи, є недостатньою для статистичного оцінювання. Тому гіпотезу про експоненціальний закон розподілу надходження вимог до СМО потрібно відхилити.

Рис. 2.10. Гістограма часу надходження вимог до СМО

Отримані числові значення показників СМО мають ілюстративний характер і вказують на те, які статистичні дані необхідно фіксувати в разі моделювання СМО, щоб визначити її характеристики ефективності.

У теорії масового обслуговування розглядаються багатоканальні СМО типу M/M/m з m пристроями для обслуговування двох типів:

• з відмовами, коли зайняті всі m пристроів і вимога отримує відмову в обслуговуванні;

• з чеканням, коли зайняті всі m пристроів і вимога чекає в черзі (кількість місць чекання s), якщо в системі знаходиться m + s вимог і надходить нова вимога, то вона отримує відмову.

Для кожного з цих двох випадків можна побудувати системи диференціальних рівнянь, які описують усі стани СМО, а потім розв'язати ці рівняння за умови, що система функціонує в стаціонарному режимі. Наведемо основні формули, потрібні для розрахунків параметрів СМО типу M/M/m [41].

1. Імовірність того, що всі пристрої для обслуговування вільні:

2. Імовірність того, що зайнято обслуговуванням k пристроїв або в системі знаходиться k вимог:

3. Імовірність того, що всі пристрої зайняті (k  m). Позначимо цю ймовірність через :

4. Імовірність того, що всі пристрої зайняті обслуговуванням і s вимог знаходяться в черзі:

5. Імовірність того, що час перебування вимог у черзі перевищує деяку задану величину t:

6. Середня довжина черги:

7. Середня кількість вільних від обслуговування пристроїв:

8. Середня кількість зайнятих обслуговуванням пристроїв:

9. Середній час чекання вимогою початку обслуговування в системі:

Використовуючи вищенаведені формули, можна розрахувати параметри СМО типу М/М/m, а потім порівняти їх з результатами імітаційного моделювання.