Вопрос 6. Теорема Кронекера-Капелли

Пусть имеется система линейных уравнений

(x1 – где 1 это индекс ,который находится внизу)

А=

A_{расширенная}=

Теорема.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Доказательство.

Пусть система совместна. Тогда существуют числа   такие, что  . Следовательно, столбец   является линейной комбинацией столбцов   матрицы  . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что  .

Достаточность

Пусть  . Возьмем в матрице   какой-нибудь базисный минор. Так как  , то он же и будет базисным минором и матрицы  . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы   будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы  . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы  .

Теорема о базисном миноре.

Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

Вопрос 7. Решение слу. Метод Крамера, матричный метод, метод Гауса

Метод Крамера

Назовем главным определителем этой системы определитель , элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

.

Предположим сначала, что Умножим каждое уравнение системы (2.3) на алгебраические дополнения элементов j-го столбца

Сложив затем все уравнения, получим:

. (2.5)

Отметим, что .

(j-й столбец)

(Результат получен из разложения определителя по j-му столбцу). Такой определитель равен 0 при и равен при i = j. Правая часть равенства (2.5) представляет собой определитель , в котором вместо j-го столбца стоит столбец свободных членов системы (2.3). Назовем такой определитель . Рассматривая j = 1,2,…,n, получим систему, эквивалентную исходной: (2.6) . Разделив все уравнения на , найдем единственное решение: .

Предположим теперь, что =0. Тогда система (2.6) примет вид: .

В этом случае, если все =0, система выглядит так: и имеет бесконечно много решений. Если же хотя бы один из система решений не имеет.

Таким образом, правило Крамера позволяет найти единственное решение системы (2.3) или сделать вывод о существовании бесконечного числа решений либо об их отсутствии:

1. Если система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .

2. Если = =0, система имеет бесконечно много решений.

3. Если =0, а хотя бы один из система не имеет решений.

Метод Гауса.

Пусть имеется СЛУ:

Метод Гауса, заключается в приведении матрицы коэффициэнтов СЛУ к треугольному виду, путем

элементарных преобразований.

Элементарные преобразования :

1)Умножение строки матрицы на число.

2)Добавление к строчке другой строки умноженное на число альфа.

3)Замена строк местами.

Доказательство.

1)Умножаем строку на число Альфа :

, где (альфа) не равна нулю => решение не меняется.

2)Сумма строк

+

При сложении 2 строк с некоторым коэффициентом если ранее выполнялись тождества для отдельной строки, то и в сумме также будет выполняться равенства. При этом данное преобразование обратимо и не добавляет новых решений.

=>

=>

a a a

b b+ b

+(-

Из тождества a и b получается b+ , но из тождества а и b+ можно получить тождества a и b.

Матричный метод.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

Систему уравнений можно записать: AX = B.

Сделаем следующее преобразование: A^-1AX = A^-1B, т.к. А^-1А = Е, то ЕХ = А^-1В

Х = А^-1В