Вопрос 8.Однородные слу. Построение фундаментальной системы решений
Однородная Система Уравнений (ОСУ) – называется СЛУ , в которой свободные коэффициенты равны 0.
Однородная СЛУ всегда имеет хотя бы одно решение.
Найдем все решения ОСЛУ, методом Гаусса можно привести данную матрицу к треугольной.
Если ранг матрицы равен n, то элементарными преобразованиями из СЛУ можно получить равносильную ей вида:
При
этом любому набору
можно сопоставить решение СЛУ
Любая линейная комбинация решений ОСЛУ является решением СЛУ.
Количество линейно независимых решений равно m-rangA, где m-число переменных;
если m=rangA, то Фундаментальной Системы Решений не существует.
ФСР:
Исследовать однородную систему — значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы.
Вопрос 9. Векторы. Основные понятия. Скалярное произведение, его свойства
Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.
Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.
Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.
Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.
Суммой
векторов является вектор -
Произведение
-
,
при этом
коллинеарен
.
Вектор сонаправлен с вектором ( ), если > 0.
Вектор противоположно направлен с вектором ( ), если < 0.
Линейным
пространством над полем
(P-
Это поле) называется множество
,
в котором введены операция сложения и
операция умножения на числа из поля
.
Причем, выполняются следующие аксиомы:
Аксиомы, определяющие операцию сложения.
1.
,
коммутативность
2.
,
ассоциативность
3.
,
существование нулевого вектора
4.
(для
любого вектора
из
множества
существует
единственный
такой,
что
).
Аксиомы, определяющие операцию умножения на числа.
Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.
= cos
Свойства скалярного произведения:
Свойства скалярного произведения (c докозательсвом)
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba
Решение:
Если
рассматривать векторы
в
декартовой прямоугольной системе
координат, то
= xa xb + ya yb + za zb;
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:
;
Вопрос 10. Векторное произведение векторов. Свойства.
Определение.
Векторным
произведением векторов
и
называется вектор
,
удовлетворяющий следующим условиям:
1)
,
где
- угол между векторами
и
,
2) вектор ортогонален векторам и
3) , и образуют правую тройку векторов.
Обозначается:
или
.
Векторное пространство, в котором задано скалярное произведение , называется евклидовым.
Свойства
векторного произведения векторов
1)
;
- Длина вектора остается неизменной ,
но порядок b
и a
меняется.
2)
,
если
или
=
0 или
=
0;
3) (m ) = (m ) = m( ); m>0. В случает когда m<0 при вынесении m из векторного произведения со знаком минус, меняется так же направление a.
4)
(
+
)
=
+
;
!!!!ДОКАЗАТЬ
СВОЙСТВО!!!!
5)
Если заданы векторы
(xa,
ya,
za)
и
(xb,
yb,
zb)
в декартовой прямоугольной системе
координат с единичными векторами
,
то
=