Вопрос 11. Смешанное произведение. Свойства

Сме́шанное произведе́ние   векторов   — скалярное произведение вектора   на векторное произведение векторов   и  :

.

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Свойства смешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а)хоть один из векторов равен нулю;

б)два из векторов коллинеарны;

в)векторы компланарны.

2)

3)

4)

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен

6)Если , , то

Используя координатную запись скалярного и векторного произведения, запишем:

[ab]c = (Y_aZ_b – Y_bZ_a)X_c + (X_bZ_a – X_aZ_b)Y_c + (X_aY_b – X_bY_a)Z_c = .

Вопрос 12. Преобразование координат на плоскости. Парралельный перенос. Поворот.

Преобразование прямоугольной системы координат

оси «новой системы координат» параллельны соответствующим осям « старой системы координат» и имеют одинаковые направления с ними (параллельный перенос системы координат).

Пусть начало новой системы координат имеет координаты в старой системе координат. Точка плоскости со «старыми координа­тами» будет иметь неко­торые «новые координаты» . Из рис.1 получаем

Рис.1

, (1)

то есть новые координаты точки равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала.

Обратно из (1) находим

(2)

Пусть теперь «новая система» координат , при неизменном начале , повернута относительно старой системы на угол , т.е. , причем угол считается положительным, если поворот осуществляется против часовой стрелки и отрицательным – в противоположном случае (рис.2).

Обозначим через угол, образованный радиусом-вектором точки с осью ; тогда отрезок , с учетом знака , будет составлять с осью угол . Отсюда на основании формул при любом расположении точки имеем:

(3)

Так как новые координаты точки есть

, (4)

то из формул (3) получаем

(5)

Формулы (5) выражают старые координаты и точки через ее новые координаты и . Чтобы выразить новые координаты и через старые и , достаточно разрешить систему (5) относительно и . Но можно поступить проще: а именно, принять систему за «старую», а систему XOY за «новую». Тогда, учитывая, что вторая система повернута относительно первой на угол , заменяя в формулах (5) и соответственно на и , и обратно принимая во внимание, что , будем иметь

(6)

Наконец, в общем случае, когда новое начало координат есть точка и ось образует с осью угол , соединяя формулы (2) и (5), находим

(7)

Аналогично, из формул (1) и (6) получим