Лекция №2. Классы и типы цифровых фильтров

Содержание лекции:

- два класса цифровых фильтров, их математическое описание, общая характеристика типов цифровых фильтров.

Цель лекции:

- ознакомиться с математическим описанием рекурсивных цифровых фильтров и нерекурсивных с линейной фазочастотной характеристикой, изучить типы цифровых фильтров с предоставлением их краткой характеристики.

К одному из основных направлений цифровой обработки сигналов (ЦОС) относится цифровая фильтрация. Цифровая фильтрация – это процесс преобразования цифровых сигналов с целью выделения и/или подавления определенных частот этих сигналов, а устройство, выполняющее фильтрацию, называется фильтром. На рисунке 2 представлены классы и типы цифровых фильтров (ЦФ).

Цифровые фильтры

Рекурсивные (БИХ)

Нерекурсивные (КИХ) с линейной ФЧХ

Тип 1

Тип 2

НЧ

ПФ

ч

Тип 3

Тип 4

ВЧ

ПФ

Дифференциатор,

Преобразователь

Гильберта

НЧ

ВЧ

ПФ

РФ

Баттерворта

Чебышева 1 и 2

Золотарева-Кауэра

ПФ

Преобразователь

Гильберта,

Дифференциатор

Рисунок 2

Из рисунка 2 видно, что в области цифровой фильтрации разработчик систем ЦОС имеет дело с реализацией двух классов фильтров:

- фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры), то есть с импульсной характеристикой, имеющей бесконечную длину во временной области; такой фильтр называют еще рекурсивным из-за наличия обратной связи;

- фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтр), то

есть с импульсной характеристикой, ограниченной по времени ( с какого-то момента времени она становится равной нулю); из-за отсутствия обратной связи такие фильтры называют нерекурсивными.

Оба класса фильтров относятся к классу линейных систем с постоянными параметрами, в которых входная и выходная последовательности связаны отношениями типа свертки. Если обозначить через отклик системы на единичный импульс, то получим свертку вида:

(2.1)

где - отсчеты входного и выходного сигналов;

h(k) – импульсная характеристика;

x(n - k) - входной отсчет, задержанный на k интервалов дискретизации.

Цифровые фильтры полностью описываются во временной области разностными уравнениями, а в z-области – передаточными функциями.

В БИХ-фильтре отсчет выходного сигнала определяется значениями входного и выходного сигналов, а в КИХ-фильтре – только значениями входного сигнала.

Рекурсивные фильтры представляют собой системы с обратной связью и описываются разностными уравнениями вида

(2.2)

где b_i и a_k – вещественные коэффициенты, причем хотя бы один a_k ≠ 0;

x(n-i) - входные отсчеты, задержанные на периодов дискретизации ;

y(n-k)-выходные отсчеты, задержанные на периодов дискретизации T;

N и M – постоянные целые числа, причем М ≥ N.

Передаточная функция рекурсивного фильтра в соответствии с (2.2) имеет вид

(2.3)

где z– комплексная переменная, причем .

При после подстановки в (2.3) получаем комплексную частотную характеристику

(2.4)

модуль которой представляет собой ненормированную амплитудно-частотную характеристику (АЧХ)

(2.5)

а аргумент – фазочастотную характеристику (ФЧХ)

(2.6)

Нерекурсивные фильтры представляют собой системы без обратной связи; их разностные уравнения и передаточные функции получаются из (2.2) и (2.3) при a_k = 0 соответственно

, (2.7)

, (2.8)

где N - число коэффициентов;

N-1 – порядок фильтра.

Амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики вычисляются из (2.8) при согласно (2.5) и (2.6) [ 1 ].

Необходимо отметить, что коэффициенты a_k передаточной функции рекурсивного фильтра по абсолютной величине равны коэффициентам разностного уравнения, но противоположны по знаку, а коэффициенты b_i разностного уравнения и передаточной функции нерекурсивного фильтра полностью совпадают и представляют собой отсчеты его импульсной характеристики.

Таким образом, для построения систем цифровой фильтрации требуется эффективная реализация соотношения типа дискретной свертки (2.1), которая раскладывается на операции умножения и накапливающего суммирования, а также операции задержки, что учитывается в архитектуре сигнальных процессоров при реализации процессов цифровой фильтрации.

На рисунке 2 также представлена возможная реализация фильтров низкой частоты (НЧ), высокой частоты (ВЧ), полосовых фильтров (ПФ), режекторных фильтров (РФ), а также амплитудных корректоров (АК), преобразователей Гильберта и дифференциаторов. Из рисунка 2 видно, что БИХ-фильтры различают по свойствам частотных характеристик на фильтры Баттерворта, Чебышева 1 и 2 и Золотарева-Кауэра.

Дадим краткую характеристику вышеприведенным типам фильтров.

Отличительной особенностью фильтров Баттерворта является то, что они обладают максимально плоской амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) в полосе пропускания и монотонной в полосе задерживания, причем в полосе пропускания ФЧХ близка к линейной. Данные фильтры являются фильтрами общего назначения, так как они наиболее полно соответствуют условиям безыскаженной передачи сигналов, поэтому применяются при необходимости сохранения соотношений составляющих сигнала по амплитуде и фазе.

Фильтры Чебышева характеризуются крутым спадом АЧХ (при том же порядке), однако это приводит к увеличению нелинейности фазовой характеристики в полосе пропускания. Амплитудно-частотные характеристики фильтров Чебышева 1 рода в полосе пропускания имеют равноволновой характер, а в полосе задерживания монотонно убывают. Фильтры Чебышева II рода (инверсные) обладают монотонной АЧХ в полосе пропускания и равноволновой в полосе задерживания.

Фильтры Чебышева I широко применяются в радиосистемах для подавления помех от соседних радиостанций. Инверсные фильтры применяются значительно реже, чем фильтры I рода, поскольку они требуют реализации нулей. Это не только усложняет программную и аппаратную реализации, но и увеличивает собственный шум фильтра за счет введения умножений в числителе передаточной функции. Тем не менее инверсные фильтры обладают и важным положительным свойством: их АЧХ является монотонной в полосе пропускания.

Фильтры Золотарева-Кауэра (эллиптические) характеризуются равноволновой АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Данный тип фильтров применяют в задачах, требующих высокой избирательности и не критичных к виду фазовой характеристики.

Амплитудные корректоры – это фильтры, предназначенные для выравнивания АЧХ системы в пределах ее рабочей полосы до установленных норм. Амплитудные корректоры подключаются каскадно с корректируемым частотным трактом и устанавливаются либо перед трактом, либо после него.

Преобразователь Гильберта осуществляет демодуляцию однополосного сигнала, который получается выделением одной из боковых полос амплитудно-модулированного сигнала. Результатом демодуляции является низкочастотный сигнал, представляющий собой огибающую узкополостного сигнала. Данное преобразование применяется в системах радиосвязи для задач модуляции и демодуляции узкополосных сигналов и сдвига частоты.

Дифференциатор выполняет операцию дифференцирования в заданной области частот. Обычно цифровые дифференциаторы применяются в системах управления, где требуется линейная зависимость сигнала управления от частоты исходного сигнала, генерируемого управляющим объектом.

Лекция №3. Рекурсивные цепи первого и второго порядков

Содержание лекции: временной и частотный анализ, оценка на устойчивость рекурсивных цепей первого и второго порядков.

Цель лекции: изучить структуру рекурсивных цепей первого и второго порядков, временные и частотные характеристики, уметь оценивать цепи на их устойчивость.

Большую роль в линейных дискретных системах с постоянными параметрами играют рекурсивные цепи 1-го и 2-го порядков, на их основе можно построить цепи более высоких порядков.

Передаточная функция (ПФ) рекурсивной цепи 1-го порядка имеет вид:

, (3.1)

Если числитель передаточной функции H(z) равен 1, то цепь для удобства будем называть базовым звеном 1-го порядка. Важной характеристикой для описания свойств линейных дискретных систем является импульсная характеристика (ИХ), как ее реакция на единичный импульс. ИХ звена 1-го порядка имеет вид

h (n) = (3.2)

На рисунке 3 представлена прямая структурная схема цепи 1-го порядка

Рисунок 3

Нуль z⁰ и полюс z^* передаточной функции вычисляются по формулам

(3.3)

Условием устойчивости является | z^* | = | a₁ | < 1. Из формулы (3.I) при z=e^jwT получаются выражения для амплитудно-частотной характеристики (АЧХ)

(3.4)

и фазочастотной характеристики (ФЧХ)

(3.5)

где - нормированная круговая частота.