Лекция №6. Квантование в цифровых системах

Содержание лекции: способы квантования чисел, источники и свойства ошибок квантования, шум квантования входного сигнала, собственный и полный выходной шум системы, шумовые характеристики.

Цель лекции: изучить способы квантования чисел, уметь оценивать шум квантования входного сигнала, собственный и полный шум цифровой системы и ее характеристики.

В цифровых системах обработки сигналов отсчеты обрабатываемого сигнала , , коэффициенты разностного уравнения или передаточных функций, а также результаты выполнения арифметических операций в сумматорах и умножителях представляются b-разрядными двоичными числами в соответствии с разрядностью регистров, ячеек памяти и операционных устройств. Такое приближенное представление чисел называют квантованием. Квантование – нелинейная операция, поэтому при ее введении в алгоритм обработки сигнала, который описывается линейным дискретным уравнением, возникают ошибки в реализации алгоритма. Такие ошибки называются ошибками квантования.

Квантование числа – это его представление с помощью конечного количества (b) значащих разрядов. С учетом знакового разряда разрядность числа определяется как . Нелинейность операции квантования вносит в представление квантуемого числа А ошибку

, (6.1)

где А – двоичное число до квантования;

F(A) – число после квантования.

Шагом квантования называется расстояние между двумя соседними уровнями квантования, причем принимается, что Шаг квантования определяется весом младшего значащего разряда: .

В цифровой обработке рассматриваются только числа, по модулю не превосходящие единицу

(6.2)

При квантовании используются два способа приближения чисел: округление и усечение. В случае округления выбирается ближайший уровень квантования, при этом исходное k-разрядное число ( k > b ) заменяется до ближайшего b-разрядного и ошибка округления не превосходит половины шага квантования

(6.3)

Обычно при анализе делается допущение, что все возможные значения ошибки в пределах диапазона (6.3) равновероятны, то есть ошибка квантования представляет собой случайную величину с равномерной плотностью распределения, как показано на рисунке 10.

Рисунок 10

При усечении k-разрядного числа до b значащих разрядов (k > b) младшие (k - b) разряды исходного числа отбрасываются. Ошибка усечения меньше шага квантования, но больше ошибки округления

< (6.4)

В связи с этим в аналого-цифровых преобразователях и в цифровых процессорах обработки сигналов обычно применяется округление.

Источниками ошибок квантования являются:

а) аналого-цифровое преобразование (АЦП), при котором квантуются дискретные сигналы;

б) арифметические операции с цифровым сигналом ;

в) квантование коэффициентов цифровой системы.

В целях упрощения анализа эффектов квантования сигналов в цифровых системах для сигнала ошибки квантования вводят следующие принципиальные допущения:

• последовательность является стационарным и эргодическим дискретным случайным процессом;

• распределение вероятности ошибок является равномерным по диапазону ошибок квантования, как показано на рисунке 10;

• любые два отсчета последовательности не коррелированы, то есть последовательность является случайным процессом типа «белый шум»;

• последовательность не коррелирована с квантуемой последовательностью.

Вместо термина «ошибка квантования» используется термин «шум квантования», отражающий указанные выше допущения.

Линейные модели процессов аналого-цифрового преобразования и умножения (с конечным числом разрядов) и аддитивным шумом идентичны, их свойства описываются одинаковыми выражениями для математического ожидания и дисперсии ошибок квантования, поэтому

; , (6.5)

где и - шумы АЦП и умножителя соответственно.

Для оценки влияния квантования входного сигнала (шум АЦП) на выходной шум цифровой цепи полагаем, что коэффициенты и арифметические операции реализуются точно. Выходной шум, как реакция дискретной цепи, имеющей импульсную характеристику h(n), на входной шум определяется по формуле

. (6.6)

Максимальные ошибки квантования входного (при округлении) и выходного сигнала определяются по формулам

, (6.7)

. (6.8)

Дисперсия составляющей выходного шума, обусловленной АЦП

(6.9)

Шум на выходе цифровой цепи имеет еще одну составляющую, обусловленную квантованием результатов умножения (собственный шум).

Максимальная ошибка и дисперсия шума квантования на выходе цифровой цепи первого порядка определяются с учетом этой составляющей

; (6.10)

(6.11)

где - максимальное значение ошибки составляющей выходного собственного шума;

- дисперсия составляющей выходного собственного шума;

h(k)- импульсная характеристика цепи первого порядка;

L - количество умножителей.

Максимальная ошибка квантования на выходе цифровой цепи второго порядка определяется как

, (6.12)

где - импульсная характеристика от выхода i – го умножителя до выхода цепи.

Дисперсия выходного шума звена второго порядка для всех i = 1,2,…,L определяется следующей формулой

(6.13)

где - импульсная характеристика цепи второго порядка.

Важными шумовыми характеристиками цифровой системы являются отношение сигнал/шум и ее динамический диапазон.

Отношение сигнал/шум – это отношение мощности выходного сигнала системы к мощности шума на выходе системы

[дБ]. (6.14)

Динамический диапазон – это отношение максимальной амплитуды к минимальной амплитуде входного сигнала, при которой обеспечивается определенное отношение сигнала на выходе системы

[дБ], (6.15)

при

[дБ], (6.16)

где - мощность выходного сигнала на нижней границе динамического диапазона (при амплитуде входного сигнала ).

Динамический диапазон следует контролировать введением коэффициентов масштабирования.