8. Математическое моделирование. Типы математических моделей. Этапы построения математической модели. Аналогии между натурным и компьютерным экспериментом

Модель – материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе изучения замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты.

Моделирование – процесс исследования реальной системы, включающий построение модели, изучение ее свойств и перенос полученных сведений на моделируемую систему; Это метод познания, прогнозирования или управления.

Математическая модель - это приближённое описание какого-либо явления внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Математическое моделирование — метод познания, прогнозирования, управления.

Цели моделирования:

1. Применение при изучении и прогнозировании поведения сложных процессов и явлений.

2. Выявление наиболее существенных факторов, формирующие те или иные свойства объектов.

Типы моделей:

1. Прямая задача - по заданным локальным законам (экономическим, биологическим и т.д.) нужно ответить на вопрос, как будет вести себя система в целом. Все параметры системы известны, изучается поведение модели в различных условиях.

2. Обратная задача - определение параметров модели путем сопоставления данных и результатов моделирования. По результатам наблюдений пытаются выяснить, какие процессы управляют поведением объекта, и находят определяющие параметры объекта.

3. Проектирование управляющих систем - это особая область моделирования, которая имеет дело с автоматизированными информационными системами (АИС) и автоматизированными системами управления (АСУ).

Этапы построения математической модели:

1. Исследование объекта моделирования.

2. Концептуальная постановка задачи моделирования (формулировка законов, связывающих основные объекты модели).

3. Математическая постановка задачи моделирования (формулировка концептуальной постановки задачи в терминах математики).

4. Выбор и обоснование выбора метода решения задачи.

5. Реализация математической модели в виде программы для ЭВМ.

6. Моделирование.

7. Проверка адекватности модели (подтверждение того, что полученное решение является разумным и достаточно точным).

8. Практическое использование модели.

9. Анализ результатов моделирования.

Лабораторный эксперимент	Компьютерный эксперимент
Образец	Математическая модель
Физический прибор	Программный прибор
Калибровка	Тестирование
Измерения	Расчеты
Анализ данных	Анализ данных

Компьютерное моделирование незаменимо, когда натуральный эксперимент проводить невозможно или затруднительно.

8. Дифференциальные модели. Точное решение задачи о маятнике. Маятник с затуханием. Качественное исследование динамических систем. Сводка результатов по типам особых точек(3)

Р ассмотрим колебание тела относительно точки подвеса О, не совпадающей с центром масс тела.

Предположения:

• Сила трения пренебрежительно мала

• Вязкое трение отсутствует

• Тело при движении не деформируется

Рисунок 12. Физический маятник

- уравнение динамики вращательного движения. - момент инерции тела, относительно оси вращения; - момент всех сил, действующих на тело; - угловое ускорение, .; - угол отклонения от положения равновесия; - масса тела; - расстояние от оси вращения до центра масс.

Вращательный момент создает сила тяжести . Тогда уравнение маятника можно записать (1.1) . Введем обозначения: . Тогда (1.1) (1.2) – частный случай от (1.3) - уравнение алгоритмического осциллятора.

Движение маятника вблизи положения устойчивого равновесия

Ограничимся малым оклонением маятника от положения равновесия ( ). Тогда раскладываем в ряд Тейлора и ограничимся только первым членом разложения . (1.2) (1.4) – уравнение малых колебаний. Обозначим: , тогда (1.4) система 2-х уравнений 1-ого порядка , (1.5). Интегрируя систему (1.5), найдем интегральные кривые. Сначала исключаем время, для этого делим 2-ое уравнение на 1-ое: (1.6) – уравнение с разделяющимися переменными. Его решение (1.7) – уравнение эллипсов. определяется НУ. Когда эллипс вырождается в точку (0,0). Таким образом, семейство интегральных кривых - эллипсы, описанные около начала координат (рисунок 13).

И

Рисунок 13. Фазовые траектории в случае малых колебаний вблизи положения устойчивого равновесия

нтегральные кривые, на которых указано направление движения, называется фазовыми траекториями, а сама координатная плоскость – фазовой плоскостью.

В верхней полуплоскости возрастает, в нижней – убывает. Точка (0,0)- особая точка тапа центр (точка покоя, стационарная точка). В данной точке тело покоится.

Приведение уравнений к безразмерному виду

Уравнение (1.7) содержит параметр , который влияет только на форму эллипса. Избавимся от этого параметра. Будем измерять время в единицах периода гармонических колебаний осциллятора: . Учтем, что , то уравнение колебаний (1.2) примет вид - безразмерное универсальное уравнение (т.к. не содержит параметров).

Движение маятника вблизи положения неустойчивого равновесия

Р

Рисунок 14. Положение маятника вблизи состояния неустойчивого равновесия

Рисунок 15. Вид фазовых траекторий при движении маятника из состояния неустойчивого равновесия

ассмотрим другой предельный случай , т.е. система начинает движение из положения вблизи точки неустойчивого равновесия (рисунок 14). Введем угол , характеризующий отклонение тела от положения неустойчивого р авновесия (1.2): (1.8). Обозначим , (1.9). Разделив 2-ое уравнение на 1-ое, получим уравнение с разделяющимися переменными (1.10) уравнение интегральных кривых: (1.11) – гиперболы (рисунок 15). В верхней полуплоскости возрастает, в нижней – убывает. В (0,0) входят и выходят 2 фазовые траектории – это особая точка седло (точка покоя, но неустойчивого равновесия).

Набор фазовых траекторий, соответствующих различным начальным состояниям системы, образует фазовый портрет.

I

Рисунок 16. Фазовый портрет физического маятника

- Область переодического движения

II - Область незамкнутых траекторий, соответствующих вращению тела вокруг своей оси

I и III – сепаратрисы. Движение по сепаратрисе соответствует падению тела и положения неустойчивого равновесия с нулевой начальной скоростью.

Точное решение задачи о маятнике

Закон сохранения механической энергии (1.12) или (1.13). При дифференцировании (1.12) получается (1.2). Выражаем из (1.13) : . Выбор знака перед корнем определяется тем, что приводит к . Разделяем переменные и интегрируем: (1.14). Обозначим: , и перейдем к тригонометрическим ф-ям половинного угла (1.15). Сделаем замену переменных: (1.16) (1.17), , (1.18). (1.19), где - эллиптический интеграл I рода. Таким образом, , где . Получаем неявную зависимость координат тела от времени.

Маятник с затуханием

Рассматриваются колебания тела с учетом сопротивления среды.

Уравнений движения: , где - коэффициент затухания.

Рассматриваем малые отклонения от положения равновесия:

1. Движение вблизи положения устойчивого равновесия . Уравнения для нахождения интегральных кривых: .

Итог:

• - уравнение логарифмической спирали. При - семейство окружностей ( ). Особая точка (0,0) – фокус, к ней стремятся все фазовые траектории при .

• ( )- уравнение параболы. Особая точка – узел.

2. Движение вблизи положения неустойчивого равновесия , . Уравнения для нахождения интегральных кривых: .

Итог:

• ( ) - уравнение гипербол, особая точка – седло.

Рисунок 17. Фазовый портрет маятника с затуханием

Качественное исследование динамических систем

Рассмотрим систему двух дифф. Уравнений I порядка: , . Ограничимся случаем, когда и не зависят явно от времени: , .

Особая точка – точка, в которой и обращаются в ноль.

Ищем решение в виде , . Подставляем решение в систему. Система имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен 0. Находим корни характеристического уравнения. Исследуем корни.

Решение системы:

• - (в случае действительных корней) семейство парабол или гипербол, в зависимости от знака показателя степени.

• - уравнение логарифмической спирали. В случае чисто мнимых корней – семейство окружностей .

Сводка результатов

Тип особых точек:

• Корни вещественные, различные и одного знака: семейство парабол.

1. Корни положительные: устойчивый узел

2. Корни отрицательные: неустойчивый узел

• Корни вещественные, одинаковые и отличные от нуля: вырожденный узел.

• Корни вещественные, различные и разных знаков: семейство парабол, особая точка – седло.

• Корни комплексно сопряжены

1. Действительная часть отрицательная: устойчивый фокус

2. Действительная часть положительная: неустойчивый фокус

• Корни чисто мнимые: центр

• Один из корней равен 0: о.т полностью заполняют одну из координатных осей.

Рисунок 18. Вид особых точек