8. Динамика биологических популяций. Модель Мальтуса. Логистическое уравнение. Модель Вольтерры. Модификации модели Вольтерры.

Модель Мальтуса

Рассматривается некоторый биологический вид, у которого нет врагов, а кормовая база в избытке. Скорость прироста пропорциональна числу уже имеющихся особей - уравнение с разделяющимися переменными, где - численность вида, - коэффициент прироста. Интегрируя, получаем , где - численность популяции в начальный момент времени.

Логистическое уравнение

Рассмотрим популяцию, которая живет на ограниченной территории, где неизбежно возникает конкуренция за жизненное пространство. Убыль популяции пропорциональна частоте встреч особей друг с другом, т.е. . Уравнение динамики популяции имеет вид: (2.3) - уравнение Ферхюльста (логистическое ур.), где коэффициент убыли популяции. Разделяем переменные . Потенцируем . Коэффициент найдем из условия, что при число особей : . Тогда при .

Удобно ввести безразмерное время и параметр . Тогда характер изменения численности популяции определяется только отношением . На рисунке 18 представлена зависимость .

Рисунок 19. Поведение логистической кривой в зависимости от соотношения параметров

Модель Вольтерра

Модель хищник-жертва. Пусть на замкнутой территории обитают жертвы и хищники. Если не было бы жертв, то хищники вымерли бы , , где - коэффициент убыли хищников, - численность в данный момент, - численность в начальный момент времени.

• Скорость изменения численности жертв: , где - коэффициент убыли жертв при встрече с хищниками.

• Скорость изменения численности хищников: , где - коэффициент, зависящий от того, как часто встреча хищника с жертвой заканчивается трапезой. (2.12)

Найдем стационарное (т.е. не зависящее от времени) состояние системы. Если численность постоянна, то их производные по времени равны нулю: , . Откуда , , , . Производные обращаются в ноль на прямых , , следовательно, численность популяций имеют здесь экстремумы.

Точка (0,0) – седло. Рассмотрим точку . Разложим систему уравнений (2.12) вблизи этой точки, ограничившись случаем малых отклонений от положения равновесия и : пренебрегаем .

Характеристическое уравнение: , корни: , - чисто мнимые особая точка – центр, фазовые траектории – эллипсы. Рисунок 18.

Рисунок 20. Зависимость числа хищников от числа жертв при различных НУ

Рисунок 21. Зависимость числа хищников (сплошная линия) и жертв (пунктир) от времени

Модель является неустойчивой.

Модификация модели Вольтерра

Учитывается самоограничение на рост популяции жертв: , . Особая точка либо фокус, либо узел, система стремится к устойчивому состоянию.

8. Предельные циклы. Системы с устойчивым, неустойчивым, полуустойчивым предельным циклом. Классификация предельных циклов

З амкнутая траектория С на фазовом портрете называется предельным циклом, если она изолирована от всех остальных замкнутых траекторий, то есть, если существует трубчатая окрестность траектории С, не содержащая других замкнутых траекторий.

Классификация предельных циклов

Аттрактор – замкнутая траектория, на которую наматываются все фазовые траектории из некоторой окрестности.

У

Рисунок 22. Устойчивый предельный цикл

стойчивый предельным циклом называется такой цикл, при котором существует область в фазовой плоскости, содержащая этот предельный цикл (окрестность ), что все фазовые траектории, начинающиеся в окрестности при приближаются к предельному циклу. (Рисунок 20. Все фазовые траектории наматываются на предельный цикл с двух сторон)

Н

Рисунок 23. Внутренний цикл устойчивый, внешний – неустойчивый.

еустойчивый предельный цикл – цикл, при котором в любой сколь угодно малой окрестности этого предельного цикла существует хотя бы одна фазовая траектория, не приближающаяся к предельному циклу при . (Рисунок 22. Внешняя окружность является неустойчивым предельным циклом, а внутренняя – устойчивым).

П

Рисунок 24. Полуустойчивый предельный цикл

олуустойчивый предельный цикл – цикл, при котором фазовые траектории приближаются к предельному циклу изнутри и удаляются от него снаружи (Рисунок 21).