8. Брюсселятор.

Брюсселятор была предложена Пригожиным и Лефевром в 1968 г. и представляет собой систему, которая при разных значениях парамет­ров может обладать разнообразным поведением во времени и про­странстве. С помощью этой модели удается выявить условия возникновения типов самоорганизации в биологических и химических системах, данная модель является базовой.

Брюсселятор представляет собой следующую схему гипотети­ческих химических реакций, происходящих в тонком и длинном (одномерном) сосуде:

, , , где и — исходно заданные вещества; и выпадают в виде осадка, а X и Y – промежуточные вещества, участвующие в химическом процессе.

Модель брюсслятора имеет вид:

Точечная модель обладает стационарной точкой . При (а) точка устойчивый фокус или узел, а при (б) — неустойчивый фокус или узел, вокруг которого в точечной системе образуется предельный цикл.

Рисунок 27. Фазовый портрет системы брюсселятор

Распределенная система

Линеаризованная система имеет вид

Будем искать решение системы в виде концентрационных волн

где — волновое число, — длина волны. Подставим решения в виде концентрационных волн в линеаризованное урав­нение. Дисперсионное уравнение — зависимость длины волны от частоты — имеет вид где

, ,

В распределенной системе возможно

• неустойчивости седлового типа;

• периодических диссипативных структур, не зависящих от времени;

• автоволновых процессов типа стоячих и бегущих волн;

• устойчивых пространственных структур.

8. Фракталы. Размерности. Хаотическое поведение динамических систем (2)

Фрактал — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Пример: Множество Кантора или пыль Кантора. Дан отрезок единичной длины. Разделим его на три части и удалим из него среднюю треть, оставив её концевые точки. Получим два отрезка длиной по 1/3 каждый. Повторяем эту процедуру с вновь полученными отрезками до бесконечности. Получаем множеством Кантора. Каждый из фрагментов множества Кантора выглядит, как все множество в целом, то есть оно самоподобно.

Рисунок 28. Множество Кантора

Размерность сомоподобия

Если разделить единичный отрезок на равных частей длиной , то длина исходного отрезка будет . Аналогично для квадрата ( ) и т.д. Во всех случаях выполнялось соотношение , где - размерность самоподобия. Размерность самоподобия может быть вычислена по формуле .

Размерность самоподобия множества Кантора. Чтобы построить множество Кантора единичной длины нужно взять 2 множества длиной 1/3, следовательно

Размерность по Хаусдорфу- Безиковичу

Для того, чтобы измерить длину кривой, можно подсчитать число прямолинейных отрезков длины , необходимых для того, чтобы покрыть её. Тогда длина кривой – .

Можно определить площадь кривой, используя для покрытия не отрезки, а квадраты (треугольники, круги и т.п.) с линейным размером .

Подобным же образом можно определить и объем линии .

В общем виде: , величина есть размерность Хаусдорфа-Безиковича.

Хаотическое поведение динамических систем

Динамический хаос – хаотическое поведение динамических систем, которые описываются полностью детерминированными дифференциальными или разностными уравнениями.

Особенность хаотических систем – наличие странных аттракторов (областей притяжения с фрактальной структурой).

Пример: Аттрактор Лоренца. Эдвард Лоренц занимался численными исследованиями метеосистем, в частности моделированием конвекции в подогреваемом снизу слое. Он написал программу для решения следующей системы дифференциальных уравнений:

, где - безразмерные константы, - управляющий параметр, пропорциональный разности температур верхних и нижних слоев, - переменная, пропорциональная скорости циркулируемого газа, - соответствует разности Т м/д восходящими и нисходящими потоками, - пропорциональна отклонению вертикального профиля Т от равновесного значения. При следующих значениях параметров: σ=10, r=28, b=8/3 система начинает вести себя хаотически.

 В результате был открыт странный аттрактор (эффект бабочки).