10. Оду порядка n: определение решения, постановка задачи Коши, формулировка тсе.
Пусть Ω область в пр-ве Rn+1 и в Ω задана непрер. ф-я f(x, y, U1 , …, Un-1) Соотношение y(n) = f( x, y, y’, ... , y(n – 1) )(1) вида называется ОДУ порядка n, разрешенным относительно старшей производной.
Опр.: Ф-я φ(x) определенная на промежутке I=<α;β>, наз-ся реш-ем ур-ия (1), если вып-ся след. условия:1) φ(x) Є Сn(I); 2) x Є I точка : (x ,φ(x), φ’(x) ,…, φ(n-1)(x)) Є Ω; 3) x Є I точка : φ(n)(x) ≡ f(x, φ(x), φ’(x), …, φ(n-1)(x)).
Постановка задачи Коши. Пусть Ω обл пр-ва Rn-1 , f(x, y, U1 , …, Un-1) определена и непрер в Ω , числа (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ) такие, что (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ) Є Ω. Найти ф-ю , опред на интервале (x0-δ; x0+δ) являющ реш-ем ур-ия (1) и удовлет усл y0 = φ(x0), y0’= φ’(x0),…, y0 (n-1) = = φ(n-1)(x0) нач данные: (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ). Запись задачи Коши: y(n) = f(x,y,y’,... ,y (n – 1) ) , y(x0) = y0 , y’(x0) = y0’ , … , y(n-1)(x0) = y0 (n-1) .
TCE 2( локаль): Пусть Ω область в Rn+1 , (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ) ,численно, такие, что (x0, y0 , y0’,…, y0 (n-1) ) Є Ω. Если ф-я f(x, y, U1 , …, Un-1 )и частн призв ∂f /∂ui (x, y, U1 , …, Un-1 )(i=1,…,n-1) непрер в обл Ω, то в некоторой окрест =(x0-h; x0+h) сущ реш-я ур-ия y(n) = f( x, y, y’, ... , y(n – 1) ), и это реш-ие удовлет усл y(x0) = y0 , y’(x0) = y0’ , … , y(n-1)(x0) = y0 (n-1) и это реш-ие единственно.
Физический смысл: x(t) – координата точки массы m на оси x. x’= dx/dt - это скорость; x’’=d2x/dt2 - это ускорение ; f(t, x, x’) – это сила , действующая на точку. m*x’’ = f(t, x, x’). Начальные условия : {t0 – нач момент времени; x(t0) – нач координата; x0’ – нач скорость {m*x’’ = f(t, x, x’); x(t0) = x0; x’(t0) = x0’.
11.Простейшие методы понижения порядка.
Примеры.
(1) F(x, y, y’, ... , y (n)) = 0 – называется неразрешённым относительно старшей производной.
I.F(x, y’, y’’, ... , y (n) ) = 0 – функция не содержит y.
Осуществим замену переменной: х – независимая переменная;
z(x) = y’(x) , y’’= z’,…,y(n) = z(n-1)
F(x, z, z’, … , z(n-1) ) = 0.
II. Левая часть не содержит (явно) x.
F( y, y’, y’’... , y (n) ) = 0; у – независимая переменная;
t = t(y) = yx’; t – функция от у.
yxx’’ =(ух’)х’ = tx’= ty’*yx’= t*ty’
yxxx’’’ = (yxx’’)’ = (t*ty’)x’ = (t*ty’)y’*yx’ = t*(t*ty’)y’
F(y, t, ty’... , t (n-1) ) = 0.
III. F(x, y, y’, ... , y (n)) = 0;
Пусть Ф(x, y, y’, ... , y (n-1)) такая, что
F(x, y, y’, ... , y (n)) = d/dxФ(x, y, y’, y’’, ... , y (n-1) ), тогда исходное ур. эквивалентно Ф(x, y, y’, y’’, ... , y (n-1)) = C.
Пример.
y*y’’ + y’2 = 1.
Решение:
(Х)х’ = 1; (y*y’)’ = y*y’’ + y’*y’; (y*y’)x’ = (Х)х’;
y*y’ = x + C1; ∫y*dy = ∫(x + C1)dx; y2/2 = x2/2 + C1*x + C2;
y2 = x2 + 2*C1*x + 2*C2; K1 = 2*C1; K2 = 2*C2 .
Ответ: y2 = x2 + K1*x + K2 .
12.Линейное дифференциальное уравнение(ЛДУ )порядка n .Формулировка ТСЕ задачи Коши для ЛДУ высшего порядка. равнения этого вида обычно записывают в следующем виде:
где a(xi)–переменные коэффициенты; n – порядок старшей производной (она и определяет порядок уравнения); y(x) – зависимая переменная и все её производные только в первой степени (т.е. это линейное уравнение); F(x) – правая часть. Если она не равна нулю, то это неоднородное уравнение, а если F(x)=0 – однородное.
Линейный уранения n-ого порядка с переменными коэффициентами.
Опр:линейными уравнениями n-ого порядка с переменными коэффициентами называются уравнения типа
=
f(x) (1)
Где
(i=1,n)
и f(x)
–заданые и непрерывные на (a,b)
функции.
Задача коши для лимнейного оду n-ого порялка
Найти
решение y=y(x)
уравнения (1) ,удовлетворяющего n
начальным условиям
(2)
Где
–заданные вещественные числа(начальные
данные)
Теорема (ТСЕ решения линейного ОДУ n-ого порядка с переменными коэффициенами.
Усл.
Пусть
Утв.
При любых начальных данных
,определенное на всем интервале (a,b)
Линейное
ОДУ n-ого
подярка с переменными коэффициентами
может быть сведено к системе n
уравнений 1-ого порядка.Дейстительно,полагая
,получим
следущую систему уравнений.
