17. Теорема об общем решении неоднородного лду порядка n.

(8) y{n}+p1(x)*y{n-1}+…+p(n-1)(x)*y’+pn(x)*y=f(x)

(8) L[y]=f(x) – неоднородное ЛДУ

(9) y{n}+p1(x)*y{n-1}+…+pny=0

(9) L[y]=0

Говорят, что однородное уравнение (9) соответствует неоднородному уравнению (8)

Теорема:Общее решение уравнения (8) представляется как сумма общего решения соотв. Однороднод.ЛДУ (9) и некоторого частного решения yч.н.(x) уравнения (8).Если y1(x),…,yn(x)-ФСР неоднор. ИДУ(9), а yч(x)-частное решение неоднор. ЛДУ(8), то общее решение (8): y(x)=yч.н.+С1*y1(x)+…+Cn*yn(x) (10), где C1,..,Cn – произвольные const.

Док-во: Пусть y2(x)-фикс.частное решение ур-ния(8)

1)Пусть φ(x) решение ур-ния(9),т.е. L[φ (x)]=0.Тогда по теореме о размерности пр-ва: φ(x)=C1y1(x)+C2y2(x)+…+Cnyn(x),т.к. y1(x),…,yn(x)-ФСР ур-ния(9).По условию L[yч(x)]=f(x), y(x)=yч(x)+ φ(x)=yч(x)+C1y1(x)+…+Cnyn(x)-решение(8). L[y(x)]=L[yч(x)+ φ(x)]= L[yч(x)]+L[φ(x)]=f(x)+0=f(x)

2)Пусть y(x)-произвольное решение ур-ния(8),т.е. L[y(x)]=f(x),рассмотрим z(x)=y(x)-yч(x), L[z(x)]=L[y(x)]-L[yч(x)]=f(x)-f(x)=0 сл-но z(x)-решение ур-ния(9) сл-но найдутся числа C1,C2,…,Cn такие, что z(x)=C1y1(x)+…+Cnyn(x) и y(x)=yч(x)+C1y1(x)+…+Cnyn(x).

18. Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного лду порядка n

Пусть дано ур-ие:

и пусть , C1-Cn-произв. постоянные – общее решение соответсвующего однородного ур-ия L[y]=0

Ищем

Где непрерывно дифф-мы на I, подлежащее определению

=1…n L[ ;

Наложим на дополнительные ограничения:

Положим

Тогда

Тогда

Вычислим:

Для определения получим систему из n уравнений:

Главный определитель системы: W(x)=W[ - определитель Вронского

Т.к. - линейно независимые решения ур-ия (9), то по теореме 3: для . Следовательно система (13) имеет единственное решение на промежутке I, которое находится по теореме Крамера:

, где получаем из W(x) заменой i-го столбца на столбец

19. Фср однородного лду с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического ур-ия(действительных или комплексных)

Все решения ур-ия (13) определены на

L(V)- множ-во всех линейных операторов действующих в V(линейное пр-во).

Опред.: Для A+B ;

(

Поставим в соответствие ур-ию (13) и оператору L многочлен от переменной t вида: (15)

Ясно что L(D)=l(D) (14)

Опред.: Многочлен называется характеристическим многочленом однородного ЛДУ (13) и оператора (14)

Теорема: Функция , где является решением ур-ия (13) т. и т.т. когда - есть корень характеристического многочлена (15)

Док-во:

Т.е.

Теорема(ФСР ЛДУ):Пусть корни характеристического ур-ия (15) попарно различны, тогда функции образуют ФСР ур-ия (13) и общее решение имеет вид:

, где - произвольные комплексные постонные.

Док-во:Т.к. – корни ур-ия (15) то по теореме 6, экспоненты - являются решениями ур-ия (13). Т.к. , то функции … - линейно независимы. Их n и опр. линейно независимы след-но образуют ФСР.

а)Действительный случай:

(17)

– многочлен с действительными коэффициентами – корни этого многочлена

1)

2) ,

Re Im(

Если f(x)=u(x)+iv(x) – решение (17), то u(x),v(x) - решение (17)

| решения ур-ия (17) линейно

| независимы

б)Общий случай: Пусть - ращличные действительные корни характеристического ур-ия, - различные корни характеристич. ур-ия

n=k+2m, ФСР имеет вид:

Общее решение:

, – действительные произвольные корни