13. Лду порядка n и линейный дифференциальный оператор. Свойство решений однородного лду.

Определение.

Линейным дифференциальным оператором n-ого порядка называется закон,ставящий в соответствие произвольной функции некоторую функцию ,слово «линейный» по отношению к оператору L ,означает,что выполнены следующие равенства

1)L[

2)

,где α-некоторая произвольная постоянная;

Линейное ОДУ n-ого порядка определяет линейный опреатор L следующим образом:

Линейное Оду n-ого порядка с помощью оператора L может быть записано в виде

L[y] = f(x)

Определение если f(x)=0 при x (a,b) ,то уравнение называется однородным,в противном случае-неоднородным.

Рассмотрим однородное ОДУ n-ого порядка

,Где

Теорема.

Если решение y=y(x) уравнения обращается в нуль вместе со своими производными до (n-1)-ого порядка включительно хотябы в одной точке ,то это решение тривиально,те y(x)=0 на (a,b)

Если функция -произвольные постояные,то

Функция так же является решением этого уравнения.

14 Линейно зависимые и линейно независимые системы функций. Определитель Вронского и необходимое условие линейной зависимости произвольной системы функций.

Определитель Вронского системы ф-ций. Услов. линейной зав ф-ции.

1)Пусть ф-ции наз-ся лин зав-ми на I, если найдутся числа не все равные нулю, такие, что на I выполняется тождество:

х

2)Функ. наз-ся лин. незав. на I, если выполн тожд-во:

Пусть y1(x),y2(x)… (I)

Опр-ль вида

W(x)=W(y1(x),y2(x)… )=

Наз-ся опред-лем Вронского

15 Теорема об определителе Вронского системы линейно независимых решений однородного лду порядка п.

Т1 Пусть решения y1(x),y2(x)… – лин незав на I.

Если y1(x),y2(x)… - лин незав на I, то

Следствие: Если сущ-т X0, такое, что W(Х0)=0, то y1(x),y2(x)… - лин зав на I

16 Теор.

Пусть p1(x),…, pn(x) ∈C(I),тогда пространство решений однородного ЛДУ

(7) L[y]=0= y(n)+ p1(x) y(n-1) +….+ pn(x) y порядка n конечномерно , и его размерность равна n.

Док-во.

Укажем базис в пространстве решений уравнения (7)

Зафиксируем точку x0 ∈I

y₁ (x0)=1 , y⁽¹⁾ (x0)=0,…., y^(n-1) (x0)=0

По ТСЕ эта задача имеет единственное решение , определенное н а всем промежутке I.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения (7) с начальными условиями.

y^(k)(x0)=1, y⁽ⁱ⁾(x0)=0 I не равно K

Эта задача имеет решение .Обозначим его y_k+1 (x)

Получим систему решений уравнения (7)

;

Эти решения линейно независимы.

— линейно независимы (по следствию 4)

Пусть φ (x)-произвольное решение уравнения (7)

Вычислим значение φ (x), φ' (x) ….. в x0∈I

Обозначим a₁₌ φ (x0), _,…, a_n= φ ^(n-1) (x0)

Построим z(x)= a₁ y₁ (x)+….+ a_n y_n (x)- φ (x)

Z(x)-решение уравнения (7)

z(x0)= a₁ y₁ (x0)+….+ a_n y_n (x0)- φ (x0)=0

и все производные тоже равны 0.

Итак ,решение уравнения (7) z(x) удовлетворяет начальным условиям z(x0)=0,и все остальные производные равны нулю.

Следовательно по замечанию к ТСЕ3, решение z(x)=0

z(x)= a₁ y₁ (x)+….+ a_n y_n (x)- φ (x)=0

y₁ (x), ……..,y_n(x)-базис в пространстве решений уравнения

Замечание ТСЕ 3.

Если z(x)= a₁ y₁ (x)+….+ a_n y_n (x)- φ (x)=0 и y(x0)=0 как и все производные y, то эта задача Коши имеет только нулевое решение y=