4. Закон полного тока. Уравнение Максвелла для потока вектора в через замкнутую поверхность.

Силовые линии вектора магнитной индукции для магнитных полей создаваемых любыми встречающимися в природе источниками всегда замкнуты (в отличие от линий напряженности электростатического поля, которые начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных). Это фундаментальное свойство магнитного поля нашло свое выражение в уравнении Максвелла для потока вектора В через замкнутую поверхность:

, (1.13)

т.е. число входящих в некоторый объем, ограниченный замкнутой поверхностью, линий вектора В всегда равно числу выходящих. Таким образом, магнитное поле не имеет источников – магнитных зарядов (в том смысле, в каком электрические заряды являются источниками электрического поля).

Другое важное свойство магнитного поля может быть получено из рассмотрения циркуляции вектора В вокруг бесконечно длинного прямого проводника с током по окружности радиуса b вдоль силовых линий вектора В. Для циркуляции имеем:

Обобщая, можно доказать, что циркуляция вектора В по произвольному контуру L равна произведению ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром L (закон полного тока):

(1.14)

При вычислении суммы, токи, связанные с направлением обхода контура правилом правого винта, считаются положительными.

Закон полного тока в некоторых случаях (при наличии специальной симметрии системы токов) позволяет просто рассчитать величину магнитного поля.

Пример 4: Поле внутри бесконечно длинного (идеального) соленоида с током I.

Рассмотрим участок соленоида длиной l, на которой умещается N витков провода. Из физических соображений можно показать, что магнитное поле существует только внутри соленоида, причем оно однородно и силовые линии поля параллельны оси соленоида. Применив теорему о циркуляции В для показанного на рис. контура получим:

,

откуда находим

В=₀IN/l. (1.15)

Несмотря на то, что данное выражение получено для идеального соленоида, оно оказывается достаточно точным для магнитных полей внутри реальных достаточно длинных и тонких соленоидов.

Найдем также магнитное поле тороида, который представляет собой тонкий провод, плотно навитый на каркас, имеющий форму тора. Выберем контур интегрирования L в формуле (1.10) в виде окружности радиуса r, центр которой совпадает с центром тороида. В силу симметрии вектор В в каждой точке должен быть направлен по касательной к контуру L, а модуль В постоянен. Тогда, , где В – магнитная индукция в тех точках, где проходит контур.

Если контур проходит внутри тороида, то он охватывает ток равный 2πRnI (R – радиус тороида, n- число витков на единицу его длины, I – ток в каждом витке). В этом случае , откуда . Контур, проходящий вне тороида, токов не охватывает и следовательно магнитная индукция вне тороида равна нулю.

5. Магнитное поле в веществе.

Если создающие магнитное поле проводники с токами находятся не в вакууме, как предполагалось выше, а в какой-либо среде, магнитное поле изменится. Это объясняется тем, что всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Намагниченное вещество создает дополнительное магнитное поле В^/, которое складывается с полем токов В₀. Результирующее поле В = В^/ + В₀.

Для количественного описания свойств магнетиков вводится магнитный момент единицы объема, или вектор намагничения

, (1.16)

где р_m – магнитный момент отдельной молекулы, ΔV – физически “бесконечно малый” объем, взятый в окрестности выбранной точки. Сумма берется по всем молекулам заключенным в этом объеме.

Для описания магнитного поля в магнетиках, кроме вектора магнитной индукции В, вводится вектор напряженности магнитного поля Н :

Н = В/μ₀ – J. (1.17)

Как показывают экспериментальные исследования, в однородных и изотропных магнетиках вектор намагничения связан с напряженностью поля в одной и той же точке соотношением

J =χН, (1.18) где χ – величина, называемая магнитной восприимчивостью вещества. Подставив в формулу (1.17) значение J из (1.18) легко получить уравнение, связывающее вектора напряженности и магнитной индукции

В = μ₀(1 + χ)Н ≡ μ₀μН, (1.19) где введена безразмерная величина μ = 1 + χ , называемая относительной магнитной проницаемостью вещества; произведение μ₀μ называют абсолютной магнитной проницаемостью. В зависимости от знака и величины магнитной восприимчивости χ все магнетики подразделяются на три группы:

1. диамагнетики , у которых χ отрицательна и мала, <1.

2. парамагнетики, у которых χ положительна и мала, >1.

3. ферромагнетики, у которых χ положительна и велика, >>1.

С особой осторожностью следует относиться к границам раздела между магнетиками, т.к. на этих границах может происходить преломление линий вектора магнитной индукции (и вектора напряженности магнитного поля), связанное с различием тангенциальных (нормальных) к границе компонент вектора В (и Н) по разные стороны от границы.

Для удобства рассмотрения полей в веществах, вводят вспомогательный вектор Н, обладающий тем свойством, что его циркуляция по замкнутому контуру, зависит лишь от алгебраической суммы макроскопических токов проводимости (не зависит от “молекулярных” токов в веществе).

Связь этого вектора вектором магнитной индукции в однородном изотропном магнетике дается выражением:

.

Поскольку зашла речь о движущихся в магнитном поле проводниках, то наблюдается еще один эффект - возникновение ЭДС (и тока, если имеется замкнутый контур) в проводниках, движущихся в магнитном поле. Рассмотрим проводящий (для определенности металлический) стержень, движущийся вправо под действием какой-то внешней силы с постоянной скоростью V в однородном магнитном поле. С такой же скоростью двигаются вместе со стержнем и свободные электроны, находящиеся в нем. На движущиеся в магнитном поле электроны действует сила Лоренца, направленная вниз (на рисунке), и она приводит к тому, что на нижнем конце стержня образуется избыточный отрицательный заряд электронов, а на верхнем конце - положительный не скомпенсированный заряд ионов металла. Возникает разделение заряда, что может интерпретироваться, как существование сторонней силы, а следовательно, и сторонней ЭДС. Роль сторонней силы играет магнитная сила Лоренца. Получается что-то наподобие батарейки, у которой плюс сверху, минус снизу, особенность состоит в том, что данная батарейка существует только пока движется и напряжение на ней, кроме всего прочего, зависит от скорости движения, магнитного поля и их взаимной ориентации. Для расчета величины ЭДС на концах стержня рассмотрим электрон, находящийся в стержне. На электрон, движущийся со стержнем, действует магнитная сила Лоренца, направленная вниз, и электрическая сила со стороны электрического поля, созданного перераспределившимися в стержне зарядами. Под действием этих двух сил электрон в стационарном режиме (при постоянной скорости движения стержня и величине и ориентации поля) будет покоится относительно стержня, т.е. , откуда напряженность поля сторонней силы: . Сосчитав работу этого поля по переносу единичного положительного заряда вдоль участка L, где это поле существует, получим ЭДС индукции на этом участке:

.

В нашем конкретном случае это даст для величины ЭДС: , где l- длина стержня. Если бы наш стержень двигался по металлическим направляющим, дополняющим стержень до замкнутого контура , то в контуре против часовой стрелки потек бы индукционный ток, величина которого зависела бы от полного сопротивления контура.

Рассмотрим эту же задачу с привлечением средств высшей математики и уже известных уравнений Максвелла для электрического поля. Выберем согласованные направления нормали к рамке и обхода контура (если бы рассматривался отдельный стержень, то можно было бы мысленно дополнить его до замкнутого контура). Согласно уравнению Максвелла

При интегрировании мы учли, что элемент длины dl направлен по направлению выбранного обхода контура (т.е. против E^*, отсюда и “минус”), что циркуляция электростатического поля E равна нулю. В результате получено выражение, связывающее возникающую в контуре ЭДС индукции, со скоростью изменения магнитного потока через площадь, ограниченную контуром (одно из уравнений Максвелла):

Полученное из рассмотрения частного случая движения проводника в однородном магнитном поле выражение, может быть обобщено и распространенно на более широкий круг явлений, т.к. магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, может изменяться не только вследствие изменения площади самого контура, но и вследствие изменения величины магнитного поля или взаимной ориентации контура и направления магнитного поля.

Электромагнитная индукция возникает во всех случаях, когда изменяется магнитный поток через контур. При этом совершенно не важно, чем вызывается это изменение потока. Если в некотором контуре течет изменяющийся во времени ток, то магнитное поле этого тока также будет изменяться. Это влечет за собой изменение магнитного потока через контур, а следовательно, и появление ЭДС индукции. Таким образом, изменение тока в контуре ведет к возникновению ЭДС индукции в этом же самом контуре. Данное явление называется самоиндукцией. Магнитное поле и полный магнитный поток через контур будет пропорциональны силе тока, при этом

где коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью. Индуктивность зависит от формы и размеров контура, а также от магнитных свойств окружающей среды.

Если же ЭДС индукции в контуре вызывается изменением тока, протекающего по другому контуру, то говорят о явлении взаимной индукции в контурах. При этом взаимную индуктивность определяют как коэффициент пропорциональности между током в одном контуре и магнитным потоком, создаваемым данным током, через поверхность, ограниченную другим контуром.

Пример 5. Найти индуктивность соленоида с числом витков N и имеющего длину l и диаметр D.

В случае протекания через соленоид тока I, магнитное поле внутри соленоида было бы В=₀IN/l. Это поле создало бы магнитный поток через каждый виток Ф=ВS= (₀IN/l)(D²/4). Учитывая, что полный поток через все витки суммируется, получим Ф_полн= (₀ N²D²/(l4))I. Откуда индуктивность находится в виде L=₀N²D²/(l4)= ₀(N/l)²V, где V- объем внутри соленоида.

С использованием выражения для индуктивности соленоида легко получить формулу для энергии магнитного поля. Как известно магнитной энергией тока называется величина W=LI²/2. Если подставить в эту формулу выражение для индуктивности соленоида:

Поскольку V- объем соленоида, а магнитное поле соленоида сосредоточено внутри него (точно также как и электрическое поле конденсатора сосредоточено внутри конденсатора), то B²/(2₀) играет роль объемной плотности магнитной энергии. Таким образом, магнитная энергия тока может интерпретироваться как энергия электромагнитного поля, распределенного в пространстве с объемной плотностью w= B²/(2₀), а для расчета полной магнитной энергии нужно проинтегрировать по всему пространству, где существует магнитное поле.

На этом заканчивается обзор основных выражений, знание которых будет способствовать выполнению заданий из раздела “Электромагнетизм”.

Основные формулы по разделу “Электромагнетизм”.

Связь магнитной индукции В с напряженностью магнитного поля Н:

(2.1)

где - относительная магнитная проницаемость изотропной среды, ₀- магнитная постоянная.

Закон Био-Савара-Лапласа:

или (2.2)

где dB магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника длины dl с током I, r- радиус-вектор, направленный от проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция, - угол между радиус-вектором r и направлением тока в элементе проводника.

Магнитная индукция в центре отрезка кругового тока, опирающегося на угол :

(2.3)

где R- радиус кругового витка.

Магнитная индукция на оси кругового тока:

(2.4)

где h расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция, создаваемая отрезком проводника с током:

Рис.1

(2.5)

Обозначения ясны из рис.1 Направление вектора В обозначено точкой - это значит, что В направлен перпендикулярно плоскости чертежа к нам.

Напряженность магнитного поля внутри соленоида

(2.6)

где n- число витков на единицу длины соленоида.

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле:

или (2.7)

где l- длина проводника, - угол между направлением тока в проводнике и вектором В.

Сила взаимодействия двух параллельных токов (на единицу длины):

(2.8)

где l- расстояние между токами.

Магнитный момент плоского контура с током:

(2.9)

где S- площадь контура, I- ток в контуре, n- единичный вектор нормали к плоскости контура (его направление совпадает с направлением движения правого винта, вращаемого по направлению тока в контуре).

Момент сил, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле:

или (2.10)

где - угол между векторами p_m и В.

Потенциальная энергия контура с током в магнитном поле:

(2.11)

Сила, действующая на заряженную частицу в электромагнитном поле (сила Лоренца):

или при( ) (2.12)

где V- скорость частицы, - угол между векторами V и В.

Магнитный поток:

(2.13)

где - угол между вектором В и нормалью к поверхности dS.

Полный магнитный поток (потокосцепление):

(2.14)

где N- число витков катушки (соленоида).

Работа по перемещению замкнутого контура (или его подвижной части) с током в магнитном поле:

(2.15)

ЭДС индукции:

(2.16)

ЭДС самоиндукции:

(2.17)

Индуктивность соленоида:

(2.18)

где n- плотность намотки, V- объем соленоида.

Уравнение Максвелла о циркуляции вектора Н:

(2.19)

Уравнение Максвелла о циркуляции вектора Е:

(2.20)

Энергия магнитного поля соленоида:

(2.21)

Плотность энергии магнитного поля:

(2.22)

Условия непрерывности отдельных компонент векторов В и Н:

(2.23)

где индексы “n” и “t” обозначают компоненты векторов нормальные и параллельные к границе раздела сред, соответственно.