3. Примеры решения задач.

Пример 1. По контуру, изображенному на рис.3, идет ток силы I=10.0 А. Определить магнитную индукцию в точке О, если радиус дуги R=10.0 см, угол =60.

Рис.3

Дано:

I=10.0 А,

R=10.0 см= 1010^-2 м,

=60, ₀=410^-7 Гн/м.

______________________

Определить В_О.

Решение: По принципу суперпозиции полей магнитная индукция в точке О равна векторной сумме магнитных индукций, создаваемых отдельными элементами контура с током. Рассмотрим отдельно три участка контура: дугу 1 и прямолинейные отрезки 2 и 3. Для вычисления магнитных индукций, создаваемых этими элементами, можно воспользоваться формулами (2.3), (2.5). Сначала выпишем модули всех трех слагаемых. Так как =/3, то В₁=₀I/(12R). Далее по формуле (2.5) определим В₂. Замечая, что углы ₁=30, ₂=90, а расстояние =ОС= Rsin₁=R/2, находим значение. . Для определения В₃ заметим, что в этом случае ₁=₂=0, поэтому В₃=0. Таким образом, магнитная индукция в точке О является суммой двух векторов _О= ₁+ ₂. Определим направления векторов в правой части равенства. Поскольку контур АВС и точка наблюдения О лежат в одной плоскости, все элементарные векторы (см. формулу (2.2)), определяющие поле контура, оказываются расположенными вдоль нормали к плоскости чертежа. При этом согласно правилу правого винта векторы , образующие сумму ₁, направлены “от нас”, а образующие сумму ₂ - “к нам”. Учитывая это, можно записать скалярное равенство . Подстановка данных дает: В_О= 6.90 мкТл.

Пример 2. Плоский квадратный контур со стороной a=10 см, по которому течет ток силой I=100 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В=1.0 Тл. Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середины противоположных сторон, на угол: 1) ₁= 90; 2) ₂= 3. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Дано:

В=1.0 Тл, I=100 А,

a=10 см=0.10 м,

₁= 90, ₂= 3.

_________________

Определить А₁, А₂

Решение: Контур с током обладает магнитным моментом (2.9), и во внешнем магнитном поле на него действует момент силы (2.10). По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил М=0, а значит, =0, т.е. векторы и параллельны. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то момент сил (2.10) будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Для подсчета А воспользуемся известной из курса механики формулой работы, совершаемой моментом сил М при повороте на угол d: dA= Md. Подставляя значение М из (2.10) и р_m из (2.9), получаем dA= IBa²sind. Интегрируя это выражение, найдем работу при повороте на конечный угол: . Работа при повороте на угол 90: . Подставляя числовые значения в это выражение, находим А₁=1 Дж. При расчете работы А₂ удобно сразу воспользоваться малостью угла ₂= 3= 3/180= /60 рад. Для малых углов sin и работа . Подставив значения, А₂= 1.37 мДж.

Задачу можно решить и другим способом, используя для подсчета работы формулу (2.15): А=IФ. В начальном положении магнитный поток Ф₁, пронизывающий контур, равен (см. (2.13)) Ф= ВScos0=Ba². После поворота на угол 90 конечный поток Ф₂=0. Работа внешних сил противоположна по знаку работе сил поля, т.е. А₁= -IФ= -I(Ф₂-Ф₁)= IВa², что совпадает с найденным ранее выражением.

Пример 3. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U=400 В, попал в однородное магнитное поле напряженностью Н=1 кА/м. Определить радиус кривизны R траектории и частоту n обращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости перпендикулярен линиям поля.

Дано:

U=400 В, Н=1000 А/м, m_e=9.1110^-31 кг,

q_e=1.610^-19 К, ₀=410^-7 Гн/м

___________________________________

Определить R и n

Решение: Радиус кривизны R определим из следующих соображений: на движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца (2.12). Сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости и, следовательно, сообщает электрону нормальное ускорение. По второму закону Ньютона, F_Л=ma_n, где а_n - нормальное ускорение, которое может быть выражено через скорость частицы V и радиус кривизны R траектории: а_n=V²/R. Таким образом, qVBsin= mV²/R и, учитывая, что угол =90, находим радиус R=mV/(qB). Неизвестный импульс mV может быть выражен через кинетическую энергию Т электрона: , а кинетическая энергия Т, в свою очередь, определяется изменением потенциальной энергии электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U: T=qU. Выражая также магнитную индукцию В через напряженность Н (см. (2.1)), получаем R=(2Um/q)^1/2/(₀H)= 5.3710^-2 м.

Для определения частоты обращения воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом: n=V/(2R). Следовательно, n=q₀H/(2m)= 3.510⁷ c^-1.

Рис.4

Пример 4. В однородном магнитном поле с индукцией В=0.1 Тл равномерно с частотой n=10 с^-1 вращается рамка, состоящая из N=10³ витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S=150 см². Определить мгновенное значение ЭДС индукции Е_i, соответствующее углу поворота рамки ₀=30, и среднее значение ЭДС <E_i>, индуцируемое в рамке при изменении угла  от значения ₁=0 до ₂=90.

Дано:

В=0.1 Тл, n=10 с^-1, N=10³ ,

S=150 см²=0.015 м²,

₀=30, ₁=0, ₂=90.

________________________

Определить Е_i и <Е_i>

Решение: Мгновенное значение ЭДС индукции Е_i определяется основным уравнением электромагнитной индукции (2.16). Воспользовавшись формулой (2.14) для потокосцепления, получаем E_i=-NdФ/dt. При вращении рамки (рис.4) магнитный поток Ф, пронизывающий один виток в момент времени t, определяется соотношением Ф(t)=BScos(t), которое нетрудно получить, используя определение потока (2.13); угол  в рассматриваемом случае изменяется со временем и равен t. Выполнив дифференцирование по времени, найдем выражение для мгновенного значения ЭДС индукции E_i=NBSsin(t). Круговая частота  связана с частотой вращения соотношением =2n. Выражая  через n и подставляя в соответствии с условием задачи значение t=₀, получаем окончательную формулу E_i=NBS2n sin(₀). Вычисление дает E_i= 47.1 В.

Среднее значение <Е_i> ЭДС индукции, генерируемой в течение некоторого промежутка времени t, равно <Е_i>= -/t= -NФ/t. Изменение магнитного потока Ф= Ф₂-Ф₁= -BS(cos₁-cos₂); время t, за которое произошло это изменение, равно t= (₂-₁)/(2n). Таким образом, находим <Е_i>= 2nBS(cos₁-cos₂)/(₂-₁)= 60 В.

Пример 5. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N=1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I=4 А магнитный поток Ф=6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.

Дано:

N=1200, I=4 А, Ф=6 мкВб.

_______________________

Определить L и W

Решение: Индуктивность L, по определению, связана с потокосцеплением  соотношением =LI; , в свою очередь, выражается через магнитный поток и число витков формулой (2.14). Отсюда находим индуктивность соленоида L=NФ/I. Энергия магнитного поля соленоида равна W=LI²/2 (см. формулу (2.21)), или, с учетом выражения для индуктивности, W=NФI/2. Подставив численные значения получим: L=1.8 мГн, W=14.4 мДж.

Пример 6. Тороид с железным ненамагниченным сердечником, длина которого по средней линии l=1.0 м, имеет воздушный зазор шириной d=3.0 мм. По обмотке тороида, содержащей N=1300 витков, пустили ток, в результате чего индукция магнитного поля в зазоре стала В=1.0 Тл. Определить силу тока в обмотке, а также плотность энергии магнитного поля в зазоре и внутри сердечника.

Дано:

l=1.0 м, d=3.0 мм=0.0030 м,

N=1300, В=1.0 Тл.

________________________

Определить I, w_з, w_с

Решение: По условию задачи воздушный зазор в тороиде узкий, и рассеянием линий магнитной индукции в нем можно пренебречь. Поэтому через любое поперечное сечение тороида, в том числе и через сечение в воздушном зазоре, проходит один и тот же магнитный поток Ф. Так как площадь S любого сечения одна и та же, то одинаковы и значения магнитной индукции В внутри сердечника и в воздушном зазоре: В_з=В_с=1 Тл. Напряженности магнитного поля Н_з и Н_с различны, так как различны относительные магнитные проницаемости воздуха и железа. Для воздуха =1 и тогда Н_з=В_з/₀= 8.010⁵ А/м. Напряженность магнитного поля в сердечнике Н_с найдем с помощью графика намагничения железа, приведенного на рис.8: Н_с=4.210² А/м. Используя формулу (2.22), находим плотности энергии магнитного поля в зазоре и внутри сердечника: w_з=В_зН_з/2= 410⁵ Дж/м³, w_с=В_сН_с/2= 2.1010² Дж/м³.

Для нахождения тока в обмотке воспользуемся уравнением Максвелла (2.19) о циркуляции вектора Н: . В качестве контура интегрирования выберем окружность, совпадающую со средней линией тороида. Тогда во всех точках контура L, лежащих внутри железа, Н_l=Н_с, а в зазоре Н_l=Н_з, и уравнение принимает вид: . Отсюда находим ток I= 2.0 А.

Пример 7. Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями x₁=A₁cos([2/T][t+₁]), x₂=A₂cos([2/T][t+₂]), где А₁= 3см, А₂= 2см, ₁= 1/6 с, ₂= 1/3 с, Т= 2с. Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и записать уравнение результирующего колебания.

Решение: Сравнивая оба уравнения с канонической формой (2.24, а) x₁=A₁cos(t+₀), находим частоту этих колебаний = 2/T=  с^-1 и начальные фазы ₁= 2₁/T, ₂= 2₂/T . Числовые значения начальных фаз равны ₁= /6 рад = 30, ₂= /3 рад = 60. Для построения векторной диаграммы надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно диаграмму строят для момента времени t=0. Откладывая отрезки длиной А₁= 3 см и А₂= 2 см под углами ₁= 30 и ₂= 60 к оси ОХ и строя их сумму А=А₁+А₂ (аналогично диаграмме, изображенной на рис.2), мы получим искомую векторную диаграмму сложения колебаний. Численные значения амплитуды и начальной фазы результирующего колебания находим с помощью формул (2.26). Вычисления дают следующие значения: А= 4.84 см, = arctg0.898= 42. Уравнение результирующего колебания имеет вид x(t)=4.84cos(t+0.735) см.

Пример 8. Амплитуда колебаний заряда конденсатора электромагнитного колебательного контура за время t= 510^-3 с уменьшилась на 40% от первоначального значения. За это время в контуре произошло N= 10³ полных колебаний. Найти индуктивность, емкость и логарифмический декремент затухания контура, если активное сопротивление R= 10 Ом. Чему будет равна амплитуда напряжения на конденсаторе, если в контур последовательно включить переменную ЭДС амплитуды U_m=12 В с частотой = 0.9_p?

Решение: Амплитуда колебаний изменяется по закону Q(t)= Q₀e^-t, где = R/(2L). Зная во сколько раз амплитуда уменьшилась за время t, находим = (1/t)ln(Q₀/Q(t))= (10³/5)ln(10/6) 10² с^-1. Теперь легко определить индуктивность L= R/(2)= 10/(210²)= 0.05 Гн.

Для нахождения емкости С контура воспользуемся формулами (2.28) и (2.30), из которых следует, что период колебаний . Период колебаний Т находим из условий задачи: T= t/N= 510^-6 с. Заметим, что период Т много меньше времени затухания = 1/= 0.01 с. Это означает, что членом ² можно пренебречь по сравнению с 1/LC. Таким образом, или C= (1/L)T²/(4²)= (100/5)(510^-6)²/(43.14²) = 51 пФ.

Логарифмический декремент затухания можно рассчитать либо по формуле = T, либо по формуле =(1/N)ln(A₀/A_N), где N= 10³, A_N= 0.6A₀. Оба способа дают одинаковый результат = 510^-4.

Для определения амплитуды вынужденных колебаний воспользуемся формулами (2.33), (2.34) и связью U_c= Q/C:

Подставив в это выражение ²=(0.9_p)²= 0.81_p², получаем

Заметим, что (1/(LC))= ₀= _p²+2². Выше уже отмечалось, что в условиях данной задачи ₀²>>². Поэтому, пренебрегая малыми поправками, находим U_c(0.9_p)= U_m/(0.19²)= 330 В.

Пример 9. Плоская волна распространяется вдоль прямой со скоростью V= 20 м/с. Две точки, лежащие на этой прямой на расстояниях x₁= 12 м и x₂= 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз = 0.75. Найти длину волны , написать уравнение волны и найти смещение указанных точек в момент t= 1.2 с, если амплитуда колебаний источника А= 0.1 м.

Решение: Точки, находящиеся на расстоянии равном длине волны  друг от друга, колеблются с разностью фаз = 2; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии x, колеблются с разностью фаз = x2/= 2(x₂-x₁)/. Решая это равенство относительно , получаем = 2(x₂-x₁)/(), или, произведя вычисления, находим = 8 м.

Для записи уравнения волны определим также период колебаний и круговую частоту: T= /V= 0.4 с, = 2/T= 5 с^-1. Подставляя найденные величины в формулу (2.35), получаем уравнение волны (x,t)=0.1cos(5(t-x/20)) м.

Чтобы найти смещение  указанных точек, достаточно подставить в уравнение волны значения х и t: ₁= 0.1cos(5(1.2-12/20))= -0.1 м, ₂= 0.1cos(5(1.2-15/20))= 0.071 м.